Необходимо доказать, что для всех целочисленных значений n выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n делится

Тема: Доказательство деления нацело

Объяснение: Чтобы доказать, что выражение 3 * 8^(2n+1) + 62 * 21^n делится на 43 для всех целочисленных значений n, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая
Для n = 0, выражение принимает вид 3 * 8 + 62 * 21^0 = 24 + 62 = 86. Мы видим, что 86 не делится нацело на 43.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что выражение 3 * 8^(2n+1) + 62 * 21^n делится нацело на 43 для некоторого целочисленного значения n = k.

Шаг 3: Доказательство индукционного перехода
Нам нужно доказать, что выражение также делится нацело на 43 при n = k + 1.
Рассмотрим выражение для n = k + 1:
3 * 8^(2(k+1)+1) + 62 * 21^(k+1)
Упрощая, получаем:
3 * 8^(2k+3) + 62 * 21^(k+1) = 3 * 8^(2k+1) * 8^2 + 62 * 21^k * 21
Подставим предположение индукции:
= (3 * 8^(2k+1) + 62 * 21^k) * 8^2 + 62 * 21^k * 21

Таким образом, выражение можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое, (3 * 8^(2k+1) + 62 * 21^k) * 8^2, уже делимо нацело на 43 по предположению индукции. Второе слагаемое, 62 * 21^k * 21, также делимо нацело на 43.

Исходя из этого, мы можем заключить, что выражение 3 * 8^(2n+1) + 62 * 21^n делится нацело на 43 для всех целочисленных значений n.

Совет: Чтобы более легко понять математическую индукцию и доказательства деления нацело, рекомендуется ознакомиться с базовыми понятиями алгебры и курсом математики.

Упражнение: Докажите, что для всех целых значений n выражение 4 * 11^(2n+1) + 23 * 9^n делится нацело на 35.