Найти угловой коэффициент касательной линии к кривой уравнения х²-у²+ху-11=0 в заданной точке

Тема урока: Угловой коэффициент касательной линии

Инструкция: Чтобы найти угловой коэффициент касательной линии к заданной кривой в заданной точке, мы сначала найдем производную функции, задающей данную кривую. Затем подставим координаты заданной точки в полученную производную, чтобы найти значение производной в этой точке. Это значение и будет являться угловым коэффициентом касательной линии.

Для данной кривой уравнение имеет вид: x² - y² + xy - 11 = 0.

Чтобы найти производную этой функции, нужно продифференцировать каждый член по отдельности. Дифференцируя уравнение, получим: 2x - 2y(dy/dx) + y + x(dy/dx) = 0.

Теперь решим это уравнение относительно dy/dx (производной):
dy/dx = (2y - y) / (2x + x) = y / 3x.

Далее найдем значения x и y в заданной точке, подставим их в выражение для производной, чтобы получить значение углового коэффициента касательной линии.

Демонстрация:
Дано уравнение кривой: x² - y² + xy - 11 = 0.
Точка, в которой нужно найти угловой коэффициент касательной линии: (2, 3).

1. Найдем производную функции: dy/dx = (y / 3x).
2. Подставим значения x = 2 и y = 3: dy/dx = (3 / (3 * 2)) = 1/2.
3. Поэтому угловой коэффициент касательной линии в точке (2, 3) равен 1/2.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется повторить правила дифференцирования и знакомство с производными функций. Практикуйтесь в решении задач на нахождение производной и угловых коэффициентов касательных линий.

Упражнение: Найдите угловой коэффициент касательной линии к кривой уравнения y = x³ - 2x² + x - 3 в точке (1, -3).