Найдите значения x, при которых показательное неравенство 5^4x - 6*5^2x + 5

Тема занятия: Показательные неравенства

Пояснение: Показательные неравенства - это неравенства, в которых переменная находится в показателе степени. Чтобы решить показательное неравенство, мы должны определить область, в которой неравенство выполняется.

Рассмотрим данное показательное неравенство: 5^(4x) - 6 * 5^(2x) + 5 > 0.

Для начала, заметим, что в этом неравенстве у нас есть три слагаемых. Давайте разложим его на более простые составляющие:

(5^2x)^2 - 6 * 5^(2x) + 5 > 0.

Теперь введем новую переменную, пусть a = 5^(2x). Тогда наше неравенство приобретает следующий вид:

a^2 - 6a + 5 > 0.

Мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Раскладываем это уравнение на множители:

(a - 1)(a - 5) > 0.

Теперь нам нужно найти значения a, при которых неравенство выполняется. Для этого нам нужно рассмотреть два случая:

1) (a - 1) > 0 и (a - 5) > 0, т.е. a > 5.

2) (a - 1) < 0 и (a - 5) < 0, т.е. a < 1.

Таким образом, мы получили два интервала значений для переменной a: a > 5 и a < 1.

Теперь подставляем обратно переменную a = 5^(2x):

5^(2x) > 5 и 5^(2x) < 1.

1) 5^(2x) > 5: решаем это неравенство и получаем x > 1/2.

2) 5^(2x) < 1: решаем это неравенство и получаем x < 0.

Таким образом, значения x, при которых показательное неравенство выполняется, это x > 1/2 или x < 0.

Совет: Для решения показательных неравенств всегда приводите уравнение к виду, где все слагаемые содержат одинаковый показатель.

Задание для закрепления: Решите показательное неравенство: 2^(3x) + 3^(2x) > 7.