Найдите значения х, при которых уравнение tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 выполняется на интервале [-2п; -п/2

Предмет вопроса: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение:
Для решения данного тригонометрического уравнения, первым шагом будет приведение уравнения к уравнению с одной переменной. В нашем случае, мы хотим найти значения x, при которых уравнение выполняется на интервале от -2п до -п/2.

Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что тангенс и косинус имеют период 2п, а синус имеет период 2пи. Поэтому, мы можем привести уравнение к более простому виду, разделив обе части на cos(3п/2 - 2х):

tg(п-х) = sin(5п/6) / cos(3п/2 - 2х)

Затем, применим тригонометрические идентичности, чтобы привести уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Используя идентичности:

tg(п-х) = sin(п/6) / cos(2х - п/2)

tg(п-х) = sin(п/6) / sin(п/2 - 2х)

После этого, мы можем применить формулу тангенса двойного угла, чтобы упростить уравнение:

tg(п-х) = 2 * tg(п/2 - 2х)

После этого, мы можем применить одно из подсказок Декарта: tg(п - у) = tgу

Теперь, у нас есть уравнение вида tg(п-х) = 2 * tg(п/2 - 2х). Найдем значения х, для которых это уравнение выполняется на интервале [-2п; -п/2].

Демонстрация:
Найдите значения х, при которых уравнение tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 выполняется на интервале [-2п; -п/2].

Решение:
1. Разделим обе части уравнения на cos(3п/2 - 2х), получим tg(п-х) = sin(5п/6) / cos(3п/2 - 2х)
2. Применим тригонометрические идентичности, получим tg(п-х) = sin(п/6) / sin(п/2 - 2х)
3. Применим формулу тангенса двойного угла, получим tg(п-х) = 2 * tg(п/2 - 2х)
4. Применим подсказку Декарта, получим tg(п-х) = tg(п/2 - 2х)
5. Заметим, что tg(п - у) = tgу, значит уравнение становится tg(п/2 - 2х) = tg(п/2 - 2х)
6. Равенство выполняется для любых значений х на интервале [-2п; -п/2]

Совет:
Для более легкого понимания материала по тригонометрическим уравнениям, рекомендуется изучить основные тригонометрические идентичности, связи между тригонометрическими функциями и формулы для приведения тригонометрических уравнений к более простому виду.

Задание для закрепления:
Решите тригонометрическое уравнение tg(5п/4 - 3х) = cos(п/6) на интервале [0; п/4] и найдите все значения x.

Тема занятия: Решение тригонометрического уравнения

Описание: Для того чтобы найти значения x, при которых данное уравнение выполняется на интервале [-2π, -π/2], мы будем использовать свойства тригонометрических функций и алгебраические преобразования.

Начнем с исходного уравнения:

tg(п-х)cos(3п/2-2х) = sin5п/6

После замены tg(п-х) на -tgх и cos(3п/2-2х) на -sin2х уравнение примет следующий вид:

-tgх * -sin2х = sin5п/6

Упростим это выражение:

tgх * sin2х = sin5п/6

Дальше, мы можем воспользоваться свойством tgх = sinх / cosх:

(sinх / cosх) * sin2х = sin(5п/6)

Раскроем произведение:

sin2х * sinх / cosх = sin(5п/6)

Получившееся уравнение является тригонометрическим уравнением синуса. Решая его, мы найдем значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.

Доп. материал: При решении данной задачи мы применили свойства тригонометрических функций и алгебраические преобразования, чтобы привести уравнение к простейшему виду и найти значения x, при которых оно выполняется.

Совет: Чтобы лучше понять работу с тригонометрическими уравнениями и научиться проводить алгебраические преобразования, рекомендуется изучить основные свойства тригонометрических функций и пройти достаточное количество практических заданий.

Практика: Решите уравнение tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 на интервале [-2п; -п/2] и найдите значения x, удовлетворяющие этому уравнению.