Найдите точку максимума функции y = 70 + 30x - x^3. Я заплачу 20 баллов за полное решение

Тема вопроса: Нахождение точки максимума функции

Инструкция:
Для нахождения точки максимума функции y = 70 + 30x - x^3, нам необходимо использовать метод дифференцирования функций. Чтобы найти точку максимума, нужно найти такое значение x, при котором производная функции равна нулю.

Давайте найдем производную функции y. Для удобства, представим функцию y = 70 + 30x - x^3 в виде y = -x^3 + 30x + 70.

Находим производную функции y по x:
y" = -3x^2 + 30.

Теперь найдем значение x, при котором производная равна нулю:
-3x^2 + 30 = 0.

Решаем это уравнение:
-3x^2 = -30,
x^2 = 10,
x = ±√10.

Теперь найдем соответствующие значения y в точках x = ±√10. Подставив эти значения в исходную функцию, получим:
y(√10) = 70 + 30√10 - (√10)^3,
y(√10) = 70 + 30√10 - 10√10,
y(√10) = 70 + 20√10,
y(√10) ≈ 99.14.

y(-√10) = 70 + 30(-√10) - (-√10)^3,
y(-√10) = 70 - 30√10 + 10√10,
y(-√10) = 70 - 20√10,
y(-√10) ≈ 70 - 99.14 ≈ -29.14.

Таким образом, точка максимума функции y = 70 + 30x - x^3 находится при x ≈ √10, y ≈ 99.14.

Совет:
Для более глубокого понимания этой темы, рекомендуется изучить дифференциальное исчисление и научиться находить производные различных функций. Также помните, что экстремумы функций могут быть точками минимума или максимума, поэтому всегда проверяйте оба варианта.

Упражнение:
Найдите точку максимума функции y = 3x^2 - 12x + 4.

Тема занятия: Максимумы функций

Пояснение: Для нахождения точки максимума функции, необходимо найти значение x, при котором функция достигает максимального значения y. В данной задаче у нас есть функция y = 70 + 30x - x^3. Чтобы найти точку максимума, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x: y" = 30 - 3x^2.

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 30 - 3x^2 = 0.

3. Решим уравнение: -3x^2 = -30. Для этого разделим обе части уравнения на -3: x^2 = 10.

4. Извлечем корень из обеих частей уравнения: x = ±√10.

5. Подставим найденное значение x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y: y = 70 + 30(√10) - (√10)^3.

6. Вычислим значение y: y = 70 + 30√10 - 10√10 = 70 + 20√10.

Таким образом, точка максимума функции y = 70 + 30x - x^3 имеет координаты (±√10, 70 + 20√10).

Пример: Найдите точку максимума функции y = 5x^2 - 10x + 3.

Совет: Для лучшего понимания процесса нахождения точки максимума или минимума функции, рекомендуется изучить и понять свойства производной функции и методы ее нахождения.

Дополнительное упражнение: Найдите точку максимума функции y = -2x^3 + 12x^2 - 16x + 5.