Найдите первообразную функции f(x)=6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-cos3x, график которой проходит через точку м(0

Имя: Нахождение первообразной функции с заданным графиком

Пояснение: Чтобы найти первообразную функции, мы должны найти функцию, производная которой является исходной функцией. В данной задаче у нас дана функция f(x) и известно, что ее график проходит через точку M(0, m).

Для начала, вычислим производные для каждого из слагаемых функции f(x):
- Производная слагаемого 6(x+1)^5 равна 30(x+1)^4
- Производная слагаемого 3(2x-1)^2 равна 12(2x-1)
- Производная слагаемого -4x равна -4
- Производная слагаемого cos3x равна -3sin3x (используем цепное правило)

Теперь, чтобы найти первообразную функции f(x), мы должны интегрировать каждое из полученных слагаемых. Интегрируя, мы получим:
- Интеграл от 30(x+1)^4 равен (x+1)^5
- Интеграл от 12(2x-1) равен 6(2x-1)^2
- Интеграл от -4x равен -2x^2
- Интеграл от -3sin3x равен sin3x

Теперь, объединим все полученные интегралы и добавим постоянную интегрирования C:
F(x) = (x+1)^5 + 6(2x-1)^2 - 2x^2 + sin3x + C

Таким образом, первообразная функции f(x), которая проходит через точку M(0, m), будет равна F(x) = (x+1)^5 + 6(2x-1)^2 - 2x^2 + sin3x + C, где C - произвольная постоянная.

Например: Найдите первообразную функции f(x)=6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-cos3x, график которой проходит через точку M(0, 2).

Совет: При решении задач на нахождение первообразной функции, полезно знать основные правила дифференцирования и интегрирования. Регулярная практика поможет вам улучшить навыки в этой области. Не забывайте, что константа C, которая появляется при нахождении первообразной, позволяет учесть возможные постоянные сдвиги графика.

Проверочное упражнение: Найдите первообразную для функции f(x) = 4x^3 + 2e^x - 5cos2x.