Найдите корни уравнения 4sin^2(x-pi 2)=ctg на интервале (-5пи ; -4пи

Тема: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Объяснение: Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения угла x, которые удовлетворяют уравнению на заданном интервале.

Шаг 1: Преобразуем уравнение, чтобы выразить sin^2(x) и ctg через cos:
4sin^2(x-pi/2) = ctg
Поскольку sin^2(x-pi/2) = 1 - cos^2(x-pi/2), мы получаем:
4(1 - cos^2(x-pi/2)) = ctg

Шаг 2: Выразим ctg как 1/tg:
4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tg

Шаг 3: Подставим tg вместо ctg:
4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/ tan(x-pi/2)

Шаг 4: Перепишем уравнение, используя идентичность 1 - cos^2(x) = sin^2(x):
4sin^2(x-pi/2) = 1/(sin(x-pi/2) / cos(x-pi/2))

Шаг 5: Упростим уравнение, умножив обе стороны на sin^2(x-pi/2):
4sin^4(x-pi/2) = 1/(sin(x-pi/2) / cos(x-pi/2))

Шаг 6: Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на cos(x-pi/2):
4sin^4(x-pi/2) = cos(x-pi/2)

Шаг 7: Перепишем левую часть уравнения как квадрат синуса:
(2sin^2(x-pi/2))^2 = cos(x-pi/2)

Шаг 8: Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
4sin^4(x-pi/2) = cos^2(x-pi/2)

Шаг 9: Воспользуемся тригонометрической идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1, заменив cos^2(x-pi/2) на 1 - sin^2(x-pi/2):
4sin^4(x-pi/2) = 1 - sin^2(x-pi/2)

Шаг 10: Решим полученное уравнение. После упрощения, у нас получится квадратное уравнение вида: 4sin^4(x-pi/2) + sin^2(x-pi/2) - 1 = 0

Пример использования:
Решение уравнения 4sin^2(x-pi/2) = ctg на интервале (-5pi; -4pi):

Шаг 1: Преобразуем уравнение:
4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tan(x-pi/2)

Шаг 2: Выразим ctg как 1/tg:
4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tg

Шаг 3: Подставим tg вместо ctg:
4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tan(x-pi/2)

Шаг 4: Продолжаем решение с использованием идентичностей и получаем квадратное уравнение:
4sin^4(x-pi/2) + sin^2(x-pi/2) - 1 = 0

Шаг 5: Решаем полученное квадратное уравнение и находим корни на заданном интервале (-5pi; -4pi).

Совет: Для решения уравнений с тригонометрическими функциями, полезно знать основные тригонометрические идентичности и уметь преобразовывать уравнения, используя эти идентичности.

Упражнение: Найдите корни уравнения 3cos^2(x) - sin(x) = 0 на интервале (0; 2pi).