Какой знаменатель у геометрической прогрессии, если отношение суммы первых четырех членов к сумме первых двух членов

Геометрическая прогрессия: это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Для того, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии в данной задаче, мы можем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Дано, что отношение суммы первых четырех членов (S4) к сумме первых двух членов (S2) составляет 82/81. Мы знаем, что сумма первых четырех членов геометрической прогрессии выражается следующим образом:

S4 = a * (r^4 - 1) / (r - 1), где a - первый член прогрессии и r - знаменатель прогрессии.

Также, сумма первых двух членов прогрессии (S2) = a * (r^2 - 1) / (r - 1).

Можем записать данное нам отношение в виде уравнения:

(S4 / S2) = (a * (r^4 - 1) / (r - 1)) / (a * (r^2 - 1) / (r - 1)) = (r^4 - 1) / (r^2 - 1) = 82/81.

Мы можем решить это уравнение для r, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии:

( (r^4 - 1) / (r^2 - 1) ) = (82/81).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

(r^4 - 1) = (82/81) * (r^2 - 1).

После раскрытия скобок, упрощения и переноса всех членов в одну сторону уравнения, получим:

81r^4 - 81 = 82r^2 - 82.

81r^4 - 82r^2 - 81 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно r^2. Решив его, мы найдем несколько возможных значений r^2.

После нахождения всех корней квадратного уравнения, мы извлекаем квадратный корень из каждого значения r^2, чтобы получить возможные значения r.

Таким образом, после решения квадратного уравнения, мы найдем различные возможные значения знаменателя геометрической прогрессии для данной задачи.

*Example of use*:

Задание: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение суммы первых четырех членов к сумме первых двух членов составляет 82/81.

*Решение*:

Мы решаем уравнение ( (r^4 - 1) / (r^2 - 1) ) = (82/81).

После раскрытия скобок и упрощения уравнения, получаем квадратное уравнение 81r^4 - 82r^2 - 81 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы находим все возможные значения r.

*Advice*:

Чтобы решить квадратное уравнение, можно использовать методы факторизации, формулу корней квадратного уравнения или графический метод.

*Exercise*:

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение суммы первых шести членов к сумме первых трем членов составляет 7/8. (Подробное решение не требуется, просто найдите значение знаменателя).