Каковы значения x, удовлетворяющие неравенству (3x-7)^2≥(5x-9)^2?

Тема: Решение квадратных неравенств

Описание: Для решения данного неравенства, сначала раскроем квадраты на обеих сторонах:

(3x-7)^2 ≥ (5x-9)^2

9x^2 - 42x + 49 ≥ 25x^2 - 90x + 81

Теперь соберем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

16x^2 - 48x + 32 ≥ 0

Для решения этого квадратного уравнения, сначала поделим все коэффициенты на 16, чтобы упростить:

x^2 - 3x + 2 ≥ 0

Затем факторизуем это квадратное уравнение:

(x - 1)(x - 2) ≥ 0

Теперь определим интервалы, в которых неравенство выполнено. Для этого рассмотрим знаки множителей в полученном произведении:

1) Если (x - 1)(x - 2) > 0, то оба множителя должны иметь одинаковые знаки. Это возможно, когда x < 1 или x > 2.

2) Если (x - 1)(x - 2) = 0, то один из множителей равен нулю. Это возможно, когда x = 1 или x = 2.

Таким образом, значения x, удовлетворяющие заданному неравенству, - это x < 1, x > 2, x = 1 или x = 2.

Совет: Для решения квадратных неравенств всегда стоит начинать с раскрытия квадратов и сведения их к одному выражению. Затем можно попытаться факторизовать квадратное уравнение и анализировать знаки множителей.

Дополнительное задание: Решите неравенство (2x - 5)^2 ≤ (3x + 1)^2, найдите значения x, удовлетворяющие этому неравенству.