Каковы значения sina, cosa, tga и ctga в терминах tga/2?

Тема урока: Тригонометрические функции с помощью tga/2

Описание: Для решения этой задачи мы можем использовать половинные углы и связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Значения тригонометрических функций в терминах tga/2 могут быть определены следующим образом:

1. $\sin(a) = 2\sin(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2})$, где a - угол.

2. $\cos(a) = \cos^2(\frac{a}{2}) - \sin^2(\frac{a}{2})$, где a - угол.

3. $\tan(a) = \frac{2\tan(\frac{a}{2})}{1 - \tan^2(\frac{a}{2})}$, где a - угол.

4. $\cot(a) = \frac{1 - \tan^2(\frac{a}{2})}{2\tan(\frac{a}{2})}$, где a - угол.

Теперь, зная эти формулы, мы можем выразить значения sina, cosa, tga и ctga через tga/2.

Например: Пусть tga/2 = 1/2. Найдем значения sina, cosa, tga и ctga в терминах tga/2.

1. $\sin(a) = 2\sin(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(a) = \cos^2(\frac{a}{2}) - \sin^2(\frac{a}{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. $\tan(a) = \frac{2\tan(\frac{a}{2})}{1 - \tan^2(\frac{a}{2})} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

4. $\cot(a) = \frac{1 - \tan^2(\frac{a}{2})}{2\tan(\frac{a}{2})} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1} = \frac{\frac{3}{4}}{1} = \frac{3}{4}$.

Совет: Для лучшего понимания тригонометрических функций и их связи через половинные углы, рекомендуется ознакомиться с определениями и свойствами этих функций, а также с правилами преобразования тригонометрических выражений.

Проверочное упражнение: Пусть tga/2 = 3/5. Найдите значения sina, cosa, tga и ctga в терминах tga/2.