Каковы решения уравнения tgxsinx - cosx = 1/2cosx на интервале от 0 до 90 градусов?

Суть вопроса: Решение уравнения tgxsinx - cosx = 1/2cosx

Объяснение: Для решения этого уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте начнем.

1. Приведем уравнение к общему знаменателю. Умножим обе части на 2cosx:
2*cosx*tgx*sinx - cosx = (1/2)*cosx

2. Распределим через скобки:
2*sinx - cos^2 x = (1/2)*cosx

3. Заменим sin^2 x на 1 - cos^2 x, используя тождество тригонометрии:
2*sinx - (1 - cos^2 x) = (1/2)*cosx

4. Разрешим скобки и приведем подобные слагаемые:
2*sinx - 1 + cos^2 x = (1/2)*cosx

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
cos^2 x - (1/2)*cosx + 2*sinx - 1 = 0

6. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx. Решим его, используя квадратное уравнение. Обозначим cosx как t:
t^2 - (1/2)*t + 2*sinx - 1 = 0

7. Решим квадратное уравнение для t. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения t:
D = b^2 - 4ac
D = (-1/2)^2 - 4(1)(2*sinx - 1)

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; и если D < 0, то уравнение не имеет решений.

8. Найдем дискриминант D:
D = (1/4) - 4(2*sinx - 1)
D = 1/4 - 8*sinx + 4

9. После упрощения:
D = 5/4 - 8*sinx

10. Если D > 0, то продолжаем решение. Найдем значения t:
t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)
t1 = (1/2 + sqrt(5/4 - 8*sinx)) / 2
t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)
t2 = (1/2 - sqrt(5/4 - 8*sinx)) / 2

11. Используя t = cosx и используя значения sinx в интервале от 0 до 90 градусов, мы можем найти все решения уравнения tgxsinx - cosx = 1/2cosx.

Например: Найдите решения уравнения tgxsinx - cosx = 1/2cosx на интервале от 0 до 90 градусов.

Совет: Всегда проверяйте решения, подставляя их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.

Задача для проверки: Найдите решения уравнения tgxsinx - cosx = 1/4cosx на интервале от 0 до 180 градусов.