Каковы наибольшее и наименьшее значения функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex] на интервале

Тема: Максимум и минимум функции

Описание:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном интервале, нам нужно использовать производную функции и критерии экстремумов. Давайте решим эту задачу.

1. Найдем производную функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex]. Для этого используем правило дифференцирования логарифма:
[tex]y' = \frac{1}{2x - 1} + \frac{2}{8 - x} \cdot (-1)[/tex].

2. Полученное выражение является производной функции и показывает скорость изменения функции в каждой точке. Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и найдем значения x:
[tex]\frac{1}{2x - 1} + \frac{2}{8 - x} = 0[/tex].

3. Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части на [tex](2x - 1)(8 - x)[/tex]:
[tex](8 - x) + 2(2x - 1) = 0[/tex].

4. Раскроем скобки и упростим уравнение:
[tex]8 - x + 4x - 2 = 0[/tex],
[tex]3x = 10[/tex],
[tex]x = \frac{10}{3}[/tex].

5. Теперь у нас есть критическая точка [tex]x = \frac{10}{3}[/tex]. Чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, проанализируем знаки производной в ее окрестности.

6. Рассмотрим интервалы [tex](1; \frac{10}{3})[/tex] и [tex](\frac{10}{3}; 7)[/tex]. Подставим значения из этих интервалов в производную функции:
- Для интервала [tex](1; \frac{10}{3})[/tex]: выберем точку, например, [tex]x = 2[/tex]. Подставим ее в производную:
[tex]y' = \frac{1}{2(2) - 1} + \frac{2}{8 - 2} \cdot (-1)[/tex].
Получаем: [tex]y' = \frac{1}{3} - \frac{2}{6} < 0[/tex].
- Для интервала [tex](\frac{10}{3}; 7)[/tex]: выберем точку, например, [tex]x = 6[/tex]. Подставим ее в производную:
[tex]y' = \frac{1}{2(6) - 1} + \frac{2}{8 - 6} \cdot (-1)[/tex].
Получаем: [tex]y' = \frac{1}{11} - \frac{2}{2} > 0[/tex].

7. Из анализа производной можно сделать вывод, что значение функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex] будет наибольшим в точке [tex]x = 2[/tex], а наименьшим в точке [tex]x = 6[/tex].

Важно: решение указанных уравнений и приведение функции к простейшему виду упущено для упрощения объяснения.

Упражнение: Найдите значение функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex] при [tex]x = 2[/tex] и при [tex]x = 6[/tex].