Каковы наибольшая и наименьшая стороны прямоугольного треугольника, угол которого в два раза больше другого, а разность

Предмет вопроса: Прямоугольные треугольники

Инструкция: Данная задача о прямоугольном треугольнике может быть решена с использованием формул Пифагора и свойства углов треугольника. Давайте рассмотрим решение по шагам.

Пусть наибольшая сторона треугольника будет обозначена как "а", а наименьшая сторона - как "b". Из условия задачи известно, что один угол треугольника в два раза больше другого. Обозначим эти углы как "x" и "2x". Тогда у нас есть следующие соотношения:

1) Закон синусов: a/sin(2x) = b/sin(x) = c/sin(90°), где а, b, c - стороны треугольника, x - меньший угол, 2x - больший угол.

2) Закон косинусов: c² = a² + b².

3) Разность между a и b: a - b = 49.

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Решение:

1) Используем закон синусов: a/sin(2x) = b/sin(x)
Разделим оба равенства на b: a/b = sin(2x)/sin(x)

2) Используем закон синусов для прямого угла: sin(90°) = 1
Таким образом, можем записать: a/b = sin(2x)/sin(x) = 1/sin(x)

3) Подставим это в закон синусов: a = b/sin(x)

4) Используем формулу для разности квадратов: c² = a² + b²
Подставляем выражение из пункта 3: c² = (b/sin(x))² + b²

5) Выразим c² через b² и sin(x): c² = (b² + sin²(x)b²)/(sin²(x))
Упростим: c² = b²(1 + sin²(x))/(sin²(x))

6) Используем условие задачи: a - b = 49
Подставляем a = b/sin(x): b/sin(x) - b = 49
Упростим: b(1 - sin(x))/sin(x) = 49

7) Получаем уравнение: (1 - sin(x))/sin(x) = 49/b
Теперь можем найти sin(x) и b.

8) Решаем уравнение для sin(x):
1 - sin(x) = 49/b * sin(x)
Переносим sin(x) влево: 1 = (49/b + 1) * sin(x)
Получаем: sin(x) = 1 / (49/b + 1)

9) Найдем b, зная sin(x):
Из уравнения a - b = 49 получаем:
b = b/sin(x) - 49

Теперь мы можем использовать найденное значение b, подставить его в разность квадратов, чтобы найти c², и затем вычислить c.

Дополнительный материал:

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол A равен 2x, а угол B равен x. Разность между наибольшей и наименьшей стороной треугольника составляет 49 см. Найти длину сторон треугольника.

Совет:

Чтобы решить эту задачу, помните о законах синусов и косинусов. Вместе с тем, учтите условие задачи, что один угол в два раза больше другого. Решайте задачу по шагам, записывайте формулы и подставляйте известные значения. Не забывайте упрощать уравнения, чтобы найти искомые стороны треугольника.

Задание:

Угол треугольника равен 30°, а гипотенуза равна 10 см. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника.