Каковы интервалы, на которых функция растет и убывает? Функция убывает на интервале от [_;_]. Функция растет

Предмет вопроса: Интервалы роста и убывания функции

Разъяснение: Для определения интервалов, на которых функция растет и убывает, необходимо проанализировать ее производную. Если производная функции положительна, то функция возрастает на соответствующих интервалах. Если производная функции отрицательна, то функция убывает на данных интервалах.

Чтобы найти интервалы роста и убывания функции, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x разделяют области, где функция возрастает и убывает.

Кроме того, чтобы определить наибольшее значение функции, нам нужно найти точку экстремума, то есть точку, где функция достигает локального максимума.

Доп. материал:
Задача: Каковы интервалы, на которых функция f(x) = x^2 - 3x + 2 растет и убывает? Какое наибольшее значение имеет функция?

Решение:
1. Найдем производную функции: f"(x) = 2x - 3.
2. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 2x - 3 = 0.
Решая уравнение, получаем x = 3/2.
3. Теперь нам необходимо проверить, как меняется знак производной функции на интервалах (-бесконечность; 3/2), (3/2; +бесконечность).
Подставляем в производную значения из этих интервалов:
* При x < 3/2, f"(x) < 0, значит, функция убывает на этом интервале.
* При x > 3/2, f"(x) > 0, значит, функция возрастает на этом интервале.
* В точке x = 3/2 производная равна нулю, это точка экстремума.
4. Чтобы найти значение функции в точке экстремума, подставим x = 3/2 в исходную функцию:
f(3/2) = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2 = 1/4 - 9/4 + 2 = -6/4 = -3/2.

Таким образом, функция растет на интервале (3/2; +бесконечность), убывает на интервале (-бесконечность; 3/2), а наибольшее значение функции f(x) равно -3/2.

Совет: При анализе функций и их интервалов роста и убывания, полезно визуализировать функцию на графике и использовать таблицу значений для понимания ее поведения. Используйте технику дифференцирования, чтобы найти производную функции и исследовать ее знаки. Для нахождения точек экстремума решайте уравнение производной равной нулю.

Дополнительное упражнение: Найдите интервалы роста и убывания для функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 и определите наибольшее значение функции.

Предмет вопроса: Интервалы роста и убывания функции

Объяснение: Чтобы определить интервалы, на которых функция растет и убывает, мы должны анализировать производную этой функции.

Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция растет на этом интервале. Если производная функции отрицательна, то функция убывает на этом интервале. Если производная равна нулю или не существует, то это может быть точка экстремума функции.

Для определения интервалов, на которых функция растет и убывает, нам необходимо решить неравенство, соответствующее знаку производной функции.

Для определения наибольшего значения функции, можно использовать точки экстремума, которые можно найти, равняя производную функции нулю или недопустимой.

Пример: Дана функция f(x) = x^2 - 4x + 3. Найдем интервалы роста и убывания функции и ее наибольшее значение.

Решение: Найдем производную функции f"(x) = 2x - 4. Для определения интервалов, на которых функция растет и убывает, решим неравенство 2x - 4 > 0. Решение этого неравенства даst интервал роста функции. Затем решим неравенство 2x - 4 < 0, чтобы найти интервал убывания функции.

2x - 4 > 0
2x > 4
x > 2

2x - 4 < 0
2x < 4
x < 2

Таким образом, функция растет на интервале (2; +∞) и убывает на интервале (-∞; 2). Наибольшее значение функции равно y_max = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 3.

Совет: Для лучшего понимания интервалов роста и убывания функции, полезно визуализировать функцию на графике и анализировать ее поведение. Также важно понимать, что значения производной функции и ее знаки связаны с изменением функции на различных интервалах.

Задание: Дана функция f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Определите интервалы роста и убывания функции, а также наибольшее значение функции.