Каково решение уравнения [tex] sqrt{2-x}+ sqrt{-x-1}= sqrt{-5x-7}[/tex]?

Тема занятия: Решение уравнения с корнями

Пояснение: Для решения данного уравнения с корнями, мы сначала изолируем один из корней на одну сторону уравнения, а затем возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Далее, мы приведем подобные слагаемые и решим получившееся уравнение.

Начнем с изоляции корня [tex]\sqrt{2-x}[/tex]. Вычитая [tex]\sqrt{-x-1}[/tex] из обеих частей уравнения, получим:

[tex]\sqrt{2-x} = \sqrt{-5x-7} - \sqrt{-x-1}[/tex]

Далее, возведем обе части уравнения в квадрат:

[tex]2-x = (-5x-7) + 2\sqrt{(-5x-7)(-x-1)} + (-x-1)[/tex]

Упростим полученное уравнение:

[tex]2-x = -5x-7 - x - 1 + 2\sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex]

[tex]2-x = -6x-8 + 2\sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex]

Далее, перенесем все слагаемые, содержащие [tex]\sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex] на одну сторону уравнения:

[tex]2-x + 6x + 8 = 2\sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex]

[tex]10x + 10 = 2\sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex]

Разделим обе части уравнения на 2:

[tex]5x + 5 = \sqrt{(-5x-7)(-x-1)}[/tex]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

[tex](5x + 5)^2 = (-5x-7)(-x-1)[/tex]

[tex]25x^2 + 50x + 25 = (-5x-7)(-x-1)[/tex]

[tex]25x^2 + 50x + 25 = 5x^2 + 12x + 7[/tex]

Получилось квадратное уравнение. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

[tex]25x^2 + 50x + 25 - 5x^2 - 12x - 7 = 0[/tex]

[tex]20x^2 + 38x + 18 = 0[/tex]

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Далее продолжим...