Каково решение неравенства x^2log(16)x ≥ log(16)x^5 + xlog(2)x и каково будет его область допустимых значений?

Тема: Решение неравенств с логарифмами и показателями

Пояснение: Чтобы решить данное неравенство, мы должны выполнить несколько шагов. Начнем с перестановки всех термов на левую сторону неравенства:

x^2log(16)x - log(16)x^5 - xlog(2)x ≥ 0

Затем применим свойство логарифмов, а именно log(a^b) = b*log(a):

log(16)x^x^2 - log(16)x^5 - xlog(2)x ≥ 0

Теперь объединим два слагаемых с логарифмами с помощью свойства log(a)-log(b) = log(a/b):

log(16)(x^x^2/x^5) - xlog(2)x ≥ 0

Упростим выражение в скобках:

log(16)(x^(2-x^3)) - xlog(2)x ≥ 0

Затем воспользуемся свойством логарифма log(a^b) = b*log(a):

(2-x^3)log(16)x - xlog(2)x ≥ 0

Далее применим свойство коммутативности умножения, чтобы поменять порядок множителей:

log(16)x(2-x^3) - xlog(2)x ≥ 0

Следующим шагом нам нужно разложить на множители левую сторону неравенства:

x(2-x)(x^2+x+1) - xlog(2)x ≥ 0

Теперь обратимся к условию неравенства x^2log(16)x ≥ log(16)x^5 + xlog(2)x. По условию левая часть неравенства должна быть больше или равна правой части. Значит, мы можем записать:

x(2-x)(x^2+x+1) - xlog(2)x ≥ 0

Таким образом, решением данного неравенства будет множество всех значений х, которые удовлетворяют условию x(2-x)(x^2+x+1) - xlog(2)x ≥ 0.

Совет: Для правильного решения неравенства с показателями и логарифмами важно быть внимательным при применении свойств логарифмов и перемножении и разложении множителей. Рекомендуется также проверить полученное решение, подставив значения переменной в исходное неравенство.

Упражнение: Решите неравенство x^3log(2)x ≥ 2log(2)x^2, определите его область допустимых значений и проверьте полученное решение.