Каково подробное решение для нахождения производной функции y= 5x^2 - 2√x + sin π/4?

Тема: Производные функций
Объяснение:
Для нахождения производной функции y= 5x^2 - 2√x + sin π/4, мы будем использовать правила дифференцирования функций.

1. Шаг: Найдем производную каждого члена по отдельности:

a) Для члена 5x^2, мы используем правило степенной функции, которое гласит, что производная x^n равна n * x^(n-1).
В данном случае, производная 5x^2 будет равна 10x.

b) Для члена -2√x, мы используем правило дифференцирования функции корня, которое гласит, что производная √x равна 1/(2√x).
В данном случае, производная -2√x будет равна -1/√x.

c) Для члена sin π/4, мы используем правило дифференцирования тригонометрической функции, которое гласит, что производная sin x равна cos x.
В данном случае, производная sin π/4 будет равна cos π/4.

2. Шаг: Объединим все производные вместе, чтобы получить полное решение:

Таким образом, производная функции y= 5x^2 - 2√x + sin π/4 будет равна 10x - 1/√x + cos π/4.

Совет:
Для лучшего понимания процесса дифференцирования и получения правильных результатов, важно знать основные правила дифференцирования функций, включая степенную функцию, функцию корня и тригонометрическую функцию. Регулярная практика и закрепление материала также помогут вам развить свои навыки в дифференцировании функций.

Закрепляющее упражнение:
Найдите производную функции y = 4x^3 + 2e^x - ln x.

Содержание: Решение производной функции

Объяснение: Для решения данной задачи, мы будем использовать правила дифференцирования для каждого члена данной функции по отдельности. Начнем с постоянного множителя 5, который остается неизменным при дифференцировании. Затем, для каждого слагаемого, необходимо применить правила дифференцирования.

Правила дифференцирования:

1. Дифференциал произведения: Если f(x) и g(x) - функции, тогда (f(x) * g(x))` = f"(x) * g(x) + f(x) * g"(x).
2. Дифференциал степени: Если f(x) = x^n, тогда f`(x) = n * x^(n-1).
3. Дифференциал функции √x: Если f(x) = √x, тогда f`(x) = 1/(2√x).
4. Дифференциал функции sin x: Если f(x) = sin x, тогда f`(x) = cos x.

Применяя эти правила, мы получаем решение:

y = 5x^2 - 2√x + sin π/4

y` = (5 * 2x) - (2 * 1/(2√x)) + (cos π/4)

y` = 10x - 1/√x + √2/2

Пример: Рассчитайте производную функции y = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5.

Совет: Для лучшего понимания и решения производной функции, следует изучить основные правила дифференцирования и примеры пошаговых решений. Регулярная практика поможет владеть этим навыком.

Задание для закрепления: Найдите производную функции y = cos^2(x) + 3sin(x) + ln(x).