Каково наименьшее значение функции =10х-10in(x+3)+24 на отрезке [-2.5

Содержание вопроса: Решение задачи по минимизации функции

Описание:
Для решения этой задачи по минимизации функции, нам необходимо найти наименьшее значение функции на заданном отрезке [-2.5, ∞).

Для начала, мы должны найти производную нашей функции, чтобы определить, где находятся ее критические точки. Производная функции может быть найдена по формуле дифференцирования сложных функций, где первое слагаемое - это 10x, второе слагаемое -10in(x+3) и третье слагаемое 24, это константа и будет обращено в 0.

Производная функции: f"(x) = 10 - 10in(x+3).

Далее, устанавливаем производную равной 0 и решаем уравнение для определения критических точек.

10 - 10in(x+3) = 0.

После решения этого уравнения, мы получаем значение x = -3 - 2.5к`как критическая точка.

Затем, мы проверяем значения производной до и после критической точки, чтобы определить, где функция достигает минимума на отрезке.

Подставим точки, лежащие слева и справа от критической точки в производную функции:
- f"(-4) = 10 - 10in(-4+3) = 10 - 10in(-1) = 10 - 10(-0.8414) = 18.414,
- f"(-2) = 10 - 10in(-2+3) = 10 - 10in(1) = 10 - 10(0.8414) = 1.586.

Мы видим, что f"(-4) > 0 и f"(-2) < 0.

Это означает, что функция имеет локальный максимум в x = -2 и локальный минимум в x = -4.

Так как наш отрезок [-2.5, ∞) лежит правее x = -4, минимум функции будет достигаться в конце отрезка.

Следовательно, наименьшее значение функции будет равно значению функции при x = -2.5:

f(-2.5) = 10*(-2.5) - 10in(-2.5+3) + 24 = -25 - 10in(0.5) + 24.

Дополнительный материал:
Найдите наименьшее значение функции f(x) = 10x - 10in(x+3) + 24 на отрезке [-2.5, ∞).

Совет:
При решении задач по минимизации функций, всегда следует сначала найти производную функции и решить ее уравнение, чтобы определить критические точки. Затем проводите тест знаков производной, чтобы найти локальные экстремумы и определить, где находится минимум функции на заданном отрезке.

Задача для проверки:
Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3x^2 - 4x + 2 на отрезке [-2, 2].