Каково наибольшее отклонение длины столешницы, которое можно гарантировать с вероятностью 0.7?

Предмет вопроса: Теория вероятности

Инструкция:

Для решения этой задачи нам понадобится использовать так называемый "Неравенство Чебышёва". Это неравенство позволяет оценивать, насколько значения случайной величины отклоняются от её математического ожидания.

Неравенство Чебышёва формулируется следующим образом: для любого положительного числа k, вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, не превышает 1/k^2.

Теперь применим это неравенство к задаче. Для начала нам нужно знать математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины. Дано, что вероятность отклонения составляет 0.7, значит вероятность невозможно отклонить составляет 0.3. Отсюда следует, что вероятность того, что случайная величина отклонится более, чем на k стандартных отклонений равна 0.3. Подставим это в неравенство Чебышёва, получим:

1/k^2 = 0.3
k^2 = 1/0.3
k^2 = 10/3
k = sqrt(10/3)

Таким образом, наибольшее отклонение длины столешницы, которое можно гарантировать с вероятностью 0.7, составляет примерно sqrt(10/3) или около 1.826.

Доп. материал:
У столешницы есть математическое ожидание равное 100 и стандартное отклонение равное 5. Каково наибольшее отклонение, которое можно гарантировать с вероятностью 0.7?
Наибольшее отклонение равно sqrt(10/3) * 5 = 9.085.

Совет:
Для лучшего понимания теории вероятности, рекомендуется изучить материал о математическом ожидании и стандартном отклонении случайной величины. Также полезно изучить примеры применения неравенства Чебышёва для различных задач.

Ещё задача:
Случайная величина имеет математическое ожидание 50 и стандартное отклонение 10. Какую вероятность можно гарантировать, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более, чем на 15?

Тема вопроса: Интервалы доверия.

Пояснение: Интервал доверия - это числовой диапазон, в пределах которого с определенной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности. Для решения данной задачи о наибольшем отклонении длины столешницы с вероятностью 0.7, мы можем использовать интервал доверия.

Чтобы вычислить интервал доверия, нам необходимы оценка параметра и его стандартное отклонение. Давайте предположим, что средняя длина столешницы составляет 100 см, а стандартное отклонение равно 5 см.

Поскольку мы хотим найти наибольшее отклонение, мы должны рассмотреть крайние значения. С вероятностью 0.7 мы можем использовать формулу для нахождения Z-значения, соответствующего этой вероятности.

Z-значение для вероятности 0.7 будет приближенно равно 1.04.

Затем мы можем использовать формулу интервала доверия:

Интервал доверия = среднее значение ± (Z-значение * стандартное отклонение).

В нашем случае это будет:

Интервал доверия = 100 ± (1.04 * 5) = 100 ± 5.2.

Таким образом, наибольшее отклонение длины столешницы, которое можно гарантировать с вероятностью 0.7, составляет 5.2 см.

Совет: При изучении интервалов доверия важно понимать, каким образом вероятность влияет на ширину интервала. Чем выше вероятность, тем шире интервал доверия. Обратите внимание на формулу и учет Z-значения.

Задача на проверку: Предположим, среднее значение успеваемости школьников по математике составляет 80 баллов со стандартным отклонением 10 баллов. Найти интервал доверия для средней успеваемости с уровнем доверия 0.9. Ответ дайте в виде "среднее значение ± ширина интервала".