Каково количество целочисленных решений неравенства x² + 5x - 6 ⩽ 0, и как можно решить это неравенство?

Тема занятия: Решение квадратного неравенства

Пояснение: Чтобы решить данное квадратное неравенство, мы должны найти значения переменной x, которые удовлетворяют неравенству. Для этого мы можем использовать график функции квадратного трехчлена или использовать метод раскрытия скобок и анализа знаков.

Начнем с анализа знаков. Для этого решим неравенство, учитывая знаки выражения x² + 5x - 6 и 0.

1. Найдем корни квадратного трехчлена x² + 5x - 6 = 0, поскольку это будут точки пересечения графика функции с осью x.
Решив квадратное уравнение, получим:
x₁ = (-5 + √(5² - 4 * 1 * (-6))) / (2 * 1)
= (-5 + √(25 + 24)) / 2
= (-5 + √49 ) / 2
= (-5 + 7) / 2
= 2 / 2
= 1
x₂ = (-5 - √(5² - 4 * 1 * (-6))) / (2 * 1)
= (-5 - √(25 + 24)) / 2
= (-5 - √49 ) / 2
= (-5 - 7) / 2
= -12 / 2
= -6

2. Теперь рассмотрим знаки выражения x² + 5x - 6 в каждом из трех интервалов (-∞, -6), (-6, 1], (1, +∞).
Мы вводим произвольные тестовые значения в неравенство, например -7, 0 и 2.

- Подставим x = -7: (-7)² + 5 * (-7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0. Значит, (-∞, -6) не удовлетворяет неравенству.
- Подставим x = 0: 0² + 5 * 0 - 6 = -6 < 0. Значит, (-6, 1] удовлетворяет неравенству.
- Подставим x = 2: 2² + 5 * 2 - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0. Значит, (1, +∞) не удовлетворяет неравенству.

3. Таким образом, количество целочисленных решений неравенства x² + 5x - 6 ⩽ 0 равно количеству целочисленных значений x на интервале (-6, 1], что является ответом на задачу.

Совет: Для лучшего понимания и решения квадратных неравенств важно понимать, как влияют коэффициенты на форму графика квадратного трехчлена и его знаки на различных интервалах числовой прямой.

Дополнительное упражнение: Найдите количество целочисленных решений неравенства 2x² - 5x + 2 > 0 и определите интервалы, на которых выполняется данное неравенство.