Каково доказательство для выражения (текст) sin2a-sin8a/cos2a-cos8a=-ctg5a?

Содержание: Доказательство выражения sin(2a) - sin(8a) / cos(2a) - cos(8a) = -ctg(5a)

Разъяснение:

Для доказательства данного выражения, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Начнем с числителя выражения sin(2a) - sin(8a):

Используя формулу разности для синусов: sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y), получаем:

sin(2a) - sin(8a) = sin(2a) - (sin(5a + 3a))
= sin(2a) - (sin(5a)cos(3a) + cos(5a)sin(3a))
= sin(2a) - sin(5a)cos(3a) - cos(5a)sin(3a)
= sin(2a) - sin(5a)(1 - 2sin^2(3a)) - 2sin(5a)cos^2(3a)
= sin(2a) - sin(5a) + 2sin^3(5a) - 2sin(5a)cos^2(3a)

2. Теперь рассмотрим знаменатель выражения cos(2a) - cos(8a):

Используя формулу разности для косинусов: cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y), получаем:

cos(2a) - cos(8a) = cos(2a) - (cos(5a + 3a))
= cos(2a) - (cos(5a)cos(3a) - sin(5a)sin(3a))
= cos(2a) - cos(5a)cos(3a) + sin(5a)sin(3a)
= cos(2a) - cos(5a) + sin(5a)sin(3a) + 2sin^2(5a)cos(3a)
= cos(2a) - cos(5a) + sin(5a)sin(3a) + sin(5a)(1 - 2sin^2(3a))

3. Используя тригонометрическое тождество: ctg(x) = cos(x) / sin(x), мы можем заменить знаменатель котангенсом:

cos(2a) - cos(5a) + sin(5a)sin(3a) + sin(5a)(1 - 2sin^2(3a)) = (cos(2a) - cos(5a) + sin(5a)sin(3a) + sin(5a) - 2sin(5a)sin^2(3a)) / sin(5a)

Упрощаем полученное выражение:

(cos(2a) + sin(5a) - 2sin(5a)sin^2(3a)) / sin(5a)

Разделим числитель на sin(5a):

cos(2a)/sin(5a) + sin(5a)/sin(5a) - 2sin(5a)sin^2(3a)/sin(5a) = -ctg(5a) + 1 - 2sin(5a)sin^2(3a)

Таким образом, мы доказали, что выражение sin(2a) - sin(8a) / cos(2a) - cos(8a) равно -ctg(5a) + 1 - 2sin(5a)sin^2(3a).

Например:
Докажите, что выражение sin(2x) - sin(8x) / cos(2x) - cos(8x) равно -ctg(5x) + 1 - 2sin(5x)sin^2(3x).

Совет:
Для успешного доказательства тригонометрических равенств важно хорошо знать основные тригонометрические формулы и уметь применять их. Регулярная тренировка решения задач по тригонометрии поможет улучшить понимание и навыки в этой области математики.

Дополнительное задание:
Докажите выражение sin(a) - sin(3a) / cos(a) - cos(3a) = -ctg(a) + 1 - 2sin^2(a).