Какова вероятность того, что за год перегорит от двух до четырех лампочек в гирлянде, если вероятность перегорания

Тема урока: Вероятность

Разъяснение:

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Дано, что вероятность перегорания одной лампочки составляет 0,97, а вероятность перегорания больше четырех лампочек составляет 0,86. Мы хотим найти вероятность того, что за год перегорит от двух до четырех лампочек в гирлянде.

Чтобы найти вероятность, мы должны использовать формулу для биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- P(X = k) - вероятность того, что случится k событий
- C_n^k - число сочетаний из n объектов по k
- p - вероятность успеха
- n - общее количество событий

В нашем случае, p = 0,97 (вероятность перегорания одной лампочки), n = 5 (общее количество лампочек в гирлянде).

Теперь найдем вероятность, что за год перегорит от двух до четырех лампочек, используя данную формулу для значений k = 2, 3 и 4 и сложим все полученные вероятности:

\[P(2\leq X \leq4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\]

\[P(2\leq X \leq4) = C_5^2 \cdot 0,97^2 \cdot (1-0,97)^{5-2} + C_5^3 \cdot 0,97^3 \cdot (1-0,97)^{5-3} + C_5^4 \cdot 0,97^4 \cdot (1-0,97)^{5-4}\]

Подставляя числовые значения и вычисляя, мы найдем итоговую вероятность.

Дополнительный материал:

Мы хотим найти вероятность того, что за год перегорит от двух до четырех лампочек в гирлянде, где вероятность перегорания одной лампочки составляет 0,97, а вероятность перегорания больше четырех лампочек составляет 0,86. Используем формулу биномиального распределения:

\[P(2\leq X \leq4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\]

\[P(2\leq X \leq4) = C_5^2 \cdot 0,97^2 \cdot (1-0,97)^{5-2} + C_5^3 \cdot 0,97^3 \cdot (1-0,97)^{5-3} + C_5^4 \cdot 0,97^4 \cdot (1-0,97)^{5-4}\]

Подставляя значения и вычисляя, мы найдем ответ.

Совет:

Для лучшего понимания задачи и применения формулы, рекомендуется изучить биномиальное распределение и его свойства. Упражнения на применение биномиального распределения также могут помочь в закреплении материала.

Задание:

Какова вероятность того, что за год перегорит ровно 3 лампочки в гирлянде, если вероятность перегорания одной лампочки составляет 0,85, а вероятность перегорания больше трех лампочек составляет 0,92?

Задача: Вероятность перегорания лампочек в гирлянде

Объяснение:

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как нам нужно найти вероятность перегорания от 2 до 4 лампочек в год.

Пусть n - общее количество лампочек в гирлянде, а p - вероятность перегорания одной лампочки в год. Тогда вероятность перегорания k лампочек в год может быть выражена через биномиальный коэффициент по формуле:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!)

В данной задаче нам дана вероятность перегорания более одной лампочки (0.97) и более четырех лампочек (0.86). Мы можем использовать эти данные для расчета общей вероятности перегорания от двух до четырех лампочек:

P(2 <= X <= 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Например:

Пусть в гирлянде всего 10 лампочек, а вероятность перегорания одной лампочки в год равна 0.1. Тогда мы можем рассчитать вероятность перегорания от двух до четырех лампочек:

P(2 <= X <= 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

= C(10, 2) * 0.1^2 * (1 - 0.1)^(10 - 2) + C(10, 3) * 0.1^3 * (1 - 0.1)^(10 - 3) + C(10, 4) * 0.1^4 * (1 - 0.1)^(10 - 4)

= 45 * 0.01 * 0.9^8 + 120 * 0.001 * 0.9^7 + 210 * 0.0001 * 0.9^6

= 0.38742

Совет:

Чтобы лучше понять и использовать биномиальное распределение, полезно осознать, что мы рассматриваем последовательность независимых испытаний, где каждое испытание может закончиться одним из двух возможных результатов (в данном случае, перегоранием или не перегоранием лампочки).

Ещё задача:

В гирлянде 8 лампочек, и вероятность перегорания одной лампочки равна 0.05. Найдите вероятность того, что от трех до пяти лампочек перегорят в год.