Какова сумма первых трех членов геометрической прогрессии с начальным членом 21 и общим знаменателем?

Тема занятия: Геометрическая прогрессия

Разъяснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий терм является произведением предыдущего терма на фиксированное число, называемое знаменателем.

Для данной задачи у нас есть начальный член прогрессии 21 и общий знаменатель (коэффициент) прогрессии.

Чтобы найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии, нужно вычислить каждый из трех членов и сложить их.

Первый член прогрессии уже дан - 21.

Второй член можно найти, умножив первый член на общий знаменатель. У нас нет точных данных о значении знаменателя, поэтому предположим, что общий знаменатель равен 2. Тогда второй член прогрессии будет 21 * 2 = 42.

Третий член можно найти, умножив второй член на общий знаменатель. Снова предположим, что общий знаменатель равен 2. Тогда третий член прогрессии будет 42 * 2 = 84.

Наконец, сложим первые три члена геометрической прогрессии: 21 + 42 + 84 = 147.

Таким образом, сумма первых трех членов геометрической прогрессии с начальным членом 21 и общим знаменателем, предполагаемым равным 2, равна 147.

Совет: Для понимания геометрической прогрессии и удобного вычисления суммы ее членов полезно ознакомиться с формулами для вычисления n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии. Изучение примеров и практика решения разных задач помогут укрепить понимание этого материала.

Упражнение: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии с начальным членом 4 и общим знаменателем 3.

Задача: Какова сумма первых трех членов геометрической прогрессии с начальным членом 21 и общим знаменателем?

Пояснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое общим знаменателем.

Для данной задачи у нас есть начальный член (а₁) равный 21 и общий знаменатель (q). Для нахождения суммы первых трех членов геометрической прогрессии можно воспользоваться формулой:

S₃ = a₁ * (1 - q³) / (1 - q),

где S₃ - сумма первых трех членов.

Подставим значения в формулу:

S₃ = 21 * (1 - q³) / (1 - q).

Далее, чтобы упростить задачу и выразить сумму S₃ через a₁, рассмотрим частные случаи:

1. Когда q = 1, геометрическая прогрессия будет арифметической последовательностью, и сумма первых трех членов будет равна 3 * a₁ = 3 * 21 = 63.
2. Когда q ≠ 1, можно упростить формулу, выделив общий знаменатель:

S₃ = 21 * (1 - q³) / (1 - q) = 21 * (1 - q * q * q) / (1 - q) = 21 * (1 - q² * q) / (1 - q),

S₃ = 21 * (1 - q²)/ (1 - q).

Доп. материал:
Допустим, общий знаменатель q равен 2. Тогда сумма первых трех членов геометрической прогрессии будет:

S₃ = 21 * (1 - 2²)/ (1 - 2) = 21 * (1 - 4) / (-1) = 21 * (-3) / (-1) = 63.

Совет: Для лучшего запоминания формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии стоит понять ее происхождение. Также можно использовать графическое представление геометрической прогрессии, чтобы наглядно увидеть изменение значений.

Задача на проверку: Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии с начальным членом 10 и общим знаменателем 3. Ответ округлите до целого числа.