Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если известно, что третий член равен 5, а шестой член равен

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение знаменателя и затем вычислить сумму первых пяти членов прогрессии.

Пусть знаменатель прогрессии равен

q

. Тогда третий член прогрессии можно записать как

a*q^2 = 5

(где

a

- первый член прогрессии). А также шестой член прогрессии будет

a*q^5 = 625

.

Исходя из этих условий, мы можем сформировать систему уравнений:

a*q^2 = 5    ---(1)

a*q^5 = 625  ---(2)

Давайте решим эту систему уравнений для нахождения значений

a

и

q

.

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(a*q^5) / (a*q^2) = 625 / 5

q^3 = 125

q = 5

Теперь, чтобы найти

a

, подставим найденное значение

q

в любое уравнение (1):

a*5^2 = 5

a*25 = 5

a = 1/25

Таким образом, мы нашли значения

a = 1/25

и

q = 5

. Теперь можем вычислить сумму первых пяти членов прогрессии по формуле суммы геометрической прогрессии:

S = a * (1 - q^n) / (1 - q)

где

n

- количество членов прогрессии.

Подставим известные значения:

S = (1/25) * (1 - 5^5) / (1 - 5)

S = (1/25) * (1 - 3125) / (1 - 5)

S = (1/25) * (-3124) / (-4)

S = 781

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 781.

Совет: Убедитесь, что вы правильно записали уравнения, чтобы избежать ошибок при решении задач по геометрической прогрессии.

Ещё задача: Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.