Какова площадь плоской фигуры, которую ограничивают графики функций y = x^2 и y = -x

Тема вопроса: Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций

Объяснение: Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций, необходимо вычислить интеграл от модуля разности этих функций в пределах, в которых они пересекаются.

В данной задаче у нас есть две функции: y = x^2 и y = -x. Обозначим эти функции как f(x) = x^2 и g(x) = -x соответственно.

Для начала найдем точки пересечения графиков f(x) и g(x), приравняв их: x^2 = -x. Решая это уравнение, получим два значения x: x = 0 и x = -1.

Далее, необходимо распределить эти точки по оси x и определить пределы интегрирования. В данном случае, точки пересечения разбивают область на две части: от x = -1 до x = 0 и от x = 0 до x = 1.

Теперь вычислим площадь каждой части фигуры в отдельности, используя формулу интеграла:
S = ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx

Для первой части:
S1 = ∫[-1,0] |f(x) - g(x)| dx
= ∫[-1,0] |x^2 - (-x)| dx
= ∫[-1,0] |x^2 + x| dx

Для второй части:
S2 = ∫[0,1] |f(x) - g(x)| dx
= ∫[0,1] |x^2 - (-x)| dx
= ∫[0,1] |x^2 + x| dx

Вычисляя эти интегралы, получим значения площади каждой части фигуры. После этого, можно просуммировать эти значения, чтобы получить общую площадь фигуры.

Демонстрация:
Для вычисления области, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = -x, вычислим интегралы S1 и S2, а затем сложим их, чтобы получить общую площадь.

Совет: В этой задаче важно внимательно следить за выбором пределов интегрирования и правильно распределить точки пересечения по оси x. Рекомендуется также провести визуализацию графиков функций, чтобы наглядно представить фигуру, ограниченную этими функциями.

Дополнительное упражнение: Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^3 и y = x.