Какое значение имеет выражение sin3α+cos3α, если sinα+cosα=1/3? Пожалуйста, найдите решение

Выражение sin3α+cos3α и его значение

Разъяснение: Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать известное тригонометрическое тождество: sin^3α+cos^3α=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).

Исходя из данных в задаче, мы знаем, что sinα+cosα=1/3. Подставим это значение в тождество:

(sinα+cosα)(1-sinαcosα) = (1/3)(1-sinαcosα)

Теперь нам нужно выразить sinαcosα. Мы можем сделать это с помощью другого тождества: sinαcosα=(sin2α)/2. Подставим его в предыдущее выражение:

(1/3)(1-(sin2α)/2) = (1/3)(1-2sin^2α) = (1/3)(1-2(1-cos^2α)) = (1/3)(1-2+2cos^2α)

Упростим это выражение:

(1/3)(-1+2cos^2α) = (2/3)cos^2α - 1/3

Теперь мы можем найти конечное значение с помощью значения cosα, которое мы ранее получили. У нас есть sinα+cosα=1/3, таким образом, мы можем выразить cosα:

cosα = 1/3 - sinα

Подставим это значение в конечное выражение:

(2/3)(1/3 - sinα)^2 - 1/3

Доп. материал: В данной задаче мы должны найти значение выражения sin3α+cos3α при условии, что sinα+cosα=1/3. Подставив это значение в соответствующее тригонометрическое тождество, мы получаем выражение (2/3)(1/3 - sinα)^2 - 1/3. Теперь мы можем решить это выражение, зная значение sinα или cosα.

Совет: Чтобы лучше понять такие задачи, полезно вспомнить тригонометрические тождества и научиться выражать sinα или cosα через другие тригонометрические функции. Кроме того, помните о правилах алгебры и упрощайте выражения, чтобы они стали более читаемыми.

Дополнительное упражнение: При sinα+cosα=2/5 исходя из данного значения, найдите значение выражения sin3α+cos3α.