Какое значение имеет производная функции f(x) = 2x + ctgx в точке x0 = π/6?

Тема: Производная функции в заданной точке

Объяснение:

Производная функции в заданной точке показывает, как быстро меняется значение функции в этой точке. В данном случае, нам нужно найти производную функции f(x) = 2x + ctgx в точке x0 = π/6.

Для того чтобы найти производную функции, мы можем воспользоваться правилами дифференцирования. Возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная слагаемого 2x равна 2, так как производная константы равна нулю, а производная x равна 1.

Производная слагаемого ctgx можно найти с помощью цепного правила дифференцирования. По цепному правилу, производная функции ctg(u) равна -cosec^2(u) * u', где u - это аргумент функции. В данном случае, аргумент u равен x, поэтому производная слагаемого ctgx равна -cosec^2(x) * 1, где cosec(x) - это косеканс функции, равная 1/sin(x).

Сложив полученные производные слагаемых, мы получим производную функции в точке x0 = π/6:
f'(x) = 2 - cosec^2(x)

Теперь мы можем найти значение производной в заданной точке x0 = π/6. Для этого заменим x в производной функции на π/6:
f'(π/6) = 2 - cosec^2(π/6)

Раскроем косеканс и вычислим значение:
f'(π/6) = 2 - (1/sin(π/6))^2
f'(π/6) = 2 - (1/(1/2))^2
f'(π/6) = 2 - (2)^2
f'(π/6) = 2 - 4
f'(π/6) = -2

Таким образом, значение производной функции f(x) = 2x + ctgx в точке x0 = π/6 равно -2.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить процесс нахождения производной функции, рекомендуется изучить правила дифференцирования и привыкнуть к их применению на различных примерах. Также полезно повторять задачи, чтобы закрепить полученные знания.

Упражнение: Найдите производную функции g(x) = 3x^2 - sin(x) в точке x0 = π/4.