Какое уравнение описывает кривую, проходящую через точку м(5; -2) и имеющую угловой коэффициент dy/dx=1/2y в каждой

Тема вопроса: Уравнение кривой с заданным угловым коэффициентом

Описание: Чтобы найти уравнение кривой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент, мы можем воспользоваться методом разделения переменных или методом экспоненциальной функции.

Для начала, давайте найдем уравнение кривой с угловым коэффициентом dy/dx = 1/2y. Если мы заменим dy/dx на y′, уравнение будет выглядеть как y′ = 1/2y.

Метод разделения переменных основывается на предположении, что y состоит из произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. В данном случае, мы можем предположить, что y = f(x)⋅g(y), где f и g - функции от x и y соответственно.

Далее, мы можем взять производную от этого предположения по x и подставить результаты в исходное уравнение: (f′(x)⋅g(y) + f(x)⋅g′(y))/(f(x)⋅g(y)) = 1/2y. Затем мы можем переупорядочить уравнение, чтобы получить два отдельных уравнения: f′(x)/f(x) = 1/(2g(y)) и g′(y)/g(y) = 1/(2f(x)).

Путем интегрирования первого уравнения по x и второго уравнения по y, мы можем получить f(x) и g(y) соответственно.

Как только мы найдем f(x) и g(y), мы можем использовать их значения, чтобы получить итоговое уравнение кривой.

Доп. материал:

Задача: Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (5, -2) и имеющей угловой коэффициент dy/dx = 1/2y в каждой точке соприкосновения.

Мы предположим, что y = f(x)⋅g(y). Заменяя dx/dy на f′(x) и dy/dx на g′(y), мы получаем f′(x)/f(x) = 1/(2g(y)) и g′(y)/g(y) = 1/(2f(x)).

Интегрируя оба уравнения, мы получаем f(x) = Ce^(x/2) и g(y) = De^(y/2), где C и D - постоянные.

Заменяя f(x) и g(y) в исходное предположение, получаем y = Ce^(x/2)⋅De^(y/2).

Чтобы найти конкретные значения C и D, мы используем точку (5, -2). Подставим эти значения и решим уравнение: -2 = Ce^(5/2)⋅De^(-1).

Таким образом, итоговое уравнение кривой, проходящей через точку (5, -2) и имеющей угловой коэффициент dy/dx = 1/2y, будет выглядеть как y = Ce^(x/2)⋅De^(y/2), где C = -2e^(-5/2)/e^(-1) и D - любое число.

Совет: Для лучшего понимания и освоения этого метода, рекомендуется ознакомиться с основами дифференциального исчисления и интегрирования.

Задача для проверки: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2, -4) и имеющей угловой коэффициент dy/dx = 3y в каждой точке соприкосновения.