Какое наименьшее положительное целое число n делит число An=7+77+777+…+7…7 (последнее слагаемое содержит n семерок)?

Содержание: Сумма семерок

Описание:
Для решения задачи нам нужно найти наименьшее положительное целое число n, которое делит число An=7+77+777+…+7…7, где последнее слагаемое содержит n семерок.

Мы замечаем, что каждое слагаемое является числом, состоящим из повторяющихся цифр 7. Каждое следующее слагаемое состоит из предыдущего слагаемого с добавлением семерки, увеличенной на одну разрядность.

Давайте проанализируем первые несколько слагаемых в последовательности An:
A1 = 7
A2 = 7 + 77 = 84
A3 = 7 + 77 + 777 = 864
A4 = 7 + 77 + 777 + 7777 = 8764

Нам нужно найти такое значение n, при котором число An будет делиться нацело на n.

Мы замечаем, что каждое слагаемое An имеет следующую форму: An = 7 × 1 + 7 × 10 + 7 × 100 + ... + 7 × 10^(n-1).

Теперь давайте проанализируем это выражение более внимательно. Мы можем записать каждое слагаемое An в виде An = 7 × (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(n-1)).

Мы видим, что выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии, где первый элемент равен 1 и отношение прогрессии равно 10.

Сумма геометрической прогрессии равна (a*(r^n - 1))/(r - 1), где a - первый элемент прогрессии, r - отношение прогрессии и n - количество членов прогрессии.

Применяя эту формулу, мы можем записать An = 7 × [(10^n - 1)/(10 - 1)].

Теперь посмотрим на это выражение. Мы знаем, что An должно делиться нацело на n. То есть An должно быть кратно n.

Таким образом, мы можем записать уравнение: 7 × [(10^n - 1)/(10 - 1)] ≡ 0 (mod n), где "≡" - обозначает сравнение по модулю.

Мы видим, что числитель 7 × (10^n - 1) всегда делится на 9, так как каждое слагаемое вида 10^k - 1 делится на 9: 9, 99, 999, ...

Поэтому у нас есть следующее уравнение: 7 × [(10^n - 1)/(10 - 1)] ≡ 0 (mod n), и числитель делится на 9.

Исходя из этого, мы можем предложить следующие значения n, которые являются делителями числа An: 1, 3 и 9.

Теперь остается проверить, являются ли эти значения наименьшими. Нам нужно найти такую верхнюю границу для n, которая гарантирует делимость числа An на n.

мы видим, что последовательность An образует ряд чисел 7, 84, 864, 8764, ... и так далее.

Для первых нескольких значений An, мы можем заметить, что An увеличивается с каждым новым слагаемым, поэтому нам нужно найти такую точку, где следующее слагаемое не будет влиять на делимость числа An на предыдущее значение n.

Таким образом, мы можем предположить, что наименьшее положительное целое число n, которое делит число An, будет равно количеству слагаемых в числе An.

То есть мы ищем такое n, при котором An содержит n слагаемых.

Рассмотрим следующие значения An:

A1 = 7 (содержит 1 слагаемое)
A2 = 7 + 77 = 84 (содержит 2 слагаемых)
A3 = 7 + 77 + 777 = 864 (содержит 3 слагаемых)
A4 = 7 + 77 + 777 + 7777 = 8764 (содержит 4 слагаемых)

Мы видим, что когда An содержит n слагаемых, получается число с n-1 цифр.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что наименьшее положительное целое число n, которое делит число An, будет равно n-1.

Таким образом, ответ на задачу: наименьшее положительное целое число n, которое делит число An=7+77+777+…+7…7, где последнее слагаемое содержит n семерок, равно n = 4 - 1 = 3.

Доп. материал:
Задача: Какое наименьшее положительное целое число n делит число An=7+77+777+…+7…7 (последнее слагаемое содержит n семерок)?
Ответ: Наименьшее положительное целое число n, которое делит число An, равно 3.

Совет:
Для решения подобных задач важно заметить закономерность или образующий элемент последовательности. Анализируйте первые несколько значений и ищите закономерности. Разберитесь с математическими операциями и принципами, задействованными в задаче. Умение работать с модулем и понимание кратности чисел также могут оказаться полезными при решении подобных задач.

Дополнительное задание:
Какое наименьшее положительное целое число n делит число Sn=6+66+666+…+6…6 (последнее слагаемое содержит n шестерок)?