Какое минимальное значение принимает функция y=x^2+256/x на интервале [1;25]?

Тема: Решение задачи на определение минимального значения функции

Пояснение:
Для решения этой задачи нам нужно найти минимальное значение функции на заданном интервале [1;25] для функции y=x^2+256/x.

1. Для начала, найдем производную функции y по переменной x.
Зная, что производная функции показывает ее скорость изменения, мы можем использовать ее для нахождения экстремумов функции.

2. Производная функции y=x^2+256/x будет равна y' = 2x - 256/x^2.

3. Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю, так как в таких точках функция может достичь экстремумов.

2x - 256/x^2 = 0

2x^3 - 256 = 0

x^3 = 128

x = 4

4. Проверим значения на концах интервала [1;25], а именно x = 1 и x = 25. Вычислим значения функции y(x) при этих значениях и найдем минимальное значение.

y(1) = 1^2 + 256/1 = 257

y(25) = 25^2 + 256/25 ≈ 729.16

Таким образом, минимальное значение функции y=x^2+256/x на интервале [1;25] равно 257, достигается при x = 1.

Пример использования:
Разберем задачу: Найдите минимальное значение функции y=x^2+256/x на интервале [1;25].

Совет:
Чтобы более легко понять и решить подобные задачи, полезно знать, что минимальное или максимальное значение функции на заданном интервале обычно достигается в тех точках, где ее производная равна нулю или не существует.

Упражнение:
Найдите минимальное значение функции y=x^2 + 9/x на интервале [2;5].