Каким образом можно найти решения уравнения [tex](4 sin ^{2}x - 1) sqrt{x^{2} - 64 pi ^{2} } = 0[/tex]?

Тема: Решение уравнения

Разъяснение: Для решения данного уравнения, необходимо найти значения переменной x, при которых равенство выполняется. Для этого нам понадобятся некоторые математические знания и методы.

Уравнение [tex](4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex] будет равно нулю, если одной из двух составляющих станет равной нулю: [tex]4 \sin ^{2}x - 1 = 0[/tex] или [tex]\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex].

Для первого уравнения, мы можем привести его к виду [tex]\sin ^{2}x = \frac{1}{4}[/tex] и извлечь квадратный корень, получим [tex]\sin x = \pm\frac{1}{2}[/tex].
Теперь, чтобы найти значения x, необходимо рассмотреть ограничения угла синуса в пределах стандартного интервала [0, 2\pi]. Из этого следует, что [tex]x = \frac{\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{7\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{11\pi}{6}[/tex].

Для второго уравнения, мы имеем квадратный корень равный нулю только при [tex]x = 8\pi[/tex].

Таким образом, решения уравнения [tex](4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex] это [tex]x = \frac{\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{7\pi}{6} \quad\text{или}\quad x = \frac{11\pi}{6}[/tex], а также [tex]x = 8\pi[/tex].

Пример использования: Пожалуйста, найдите все решения уравнения [tex](4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0[/tex].

Совет: При решении уравнений, имейте в виду основные свойства функций и умение решать квадратные уравнения. Также, не забывайте учитывать ограничения переменных в заданных интервалах.

Упражнение: Найдите все решения уравнения [tex](2 \cos ^{2}x + 3\sin x) \sqrt{1 - \cos x} = 0[/tex].