Какие значения x являются точками экстремума функции y=3x−6cosx на интервале x∈[−π/2;π]? Приведите также характер этих

Тема занятия: Поиск точек экстремума функции

Объяснение:

Чтобы найти точки экстремума функции y = 3x - 6cosx на интервале x ∈ [-π/2;π], мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Так как данную функцию нельзя точно проанализировать аналитически, мы воспользуемся численным методом.

Шаг 1: Вычислим производную функции. Для этого можно воспользоваться численным дифференцированием или использовать программу, которая это делает автоматически. Производная функции y по x является 3 + 6sinx.

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение 3 + 6sinx = 0 для нахождения точек экстремума. Получим sinx = -1/2, откуда x = -π/6 + 2πn или x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.

Шаг 3: Оценим характер каждой точки экстремума. Для этого можно построить таблицу знаков производной функции y или воспользоваться второй производной. Так как мы не имеем второй производной, для определения характера точек экстремума можно использовать вторую производную в виде производной производной. Для этого найдем производную производной функции y по x, которая равна 6cosx.

Шаг 4: Анализируя значение производной второго порядка, мы можем определить, является ли точка экстремума локальным максимумом или минимумом. Если производная второго порядка положительна, то это точка минимума, а если отрицательна, то точка максимума.

Доп. материал:
Для нашего примера, найденные значения x, являющиеся точками экстремума функции y=3x−6cosx на интервале x∈[−π/2;π], равны x = -π/6 + 2πn и x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.

Совет:
Важно помнить, что для нахождения точек экстремума функции необходимо найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует, а затем проанализировать характер этих точек с помощью второй производной или производной производной.

Практика:
Найдите значения x, являющиеся точками экстремума функции y = x^2 - 4x + 3. Определите характер каждой точки экстремума.