Какие значения x удовлетворяют уравнению 8sin^2(7п/12+x)-2√3cos2x=5?

Тема занятия: Решение уравнения с тригонометрическими функциями.

Описание: Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества и преобразования. В данном случае у нас есть уравнение с функциями sin и cos, поэтому будем использовать соответствующие тригонометрические тождества.

1. Воспользуемся формулой двойного угла для cos: cos2θ = 1 - 2sin^2θ. Заменим cos2x на это выражение в исходном уравнении:

8sin^2(7π/12 + x) - 2√3(1 - 2sin^2x) = 5.

2. Раскроем скобки в первом слагаемом:

8(sin^2(7π/12)cos^2x + 2sin(7π/12)cosxsinx + sin^2x) - 2√3 + 4√3sin^2x = 5.

3. Преобразуем sin^2(7π/12) и sin(7π/12):

8(1/2 * cos(π/6) + 2sin(π/3)cosxsinx + sin^2x) - 2√3 + 4√3sin^2x = 5.

4(cos(π/6) + 2√3sin(π/3)cosxsinx) + 8sin^2x - 2√3 + 4√3sin^2x = 5.

2√3cosxsinx + 12sin^2x - 2√3 + 4√3sin^2x = 1 - cos(π/6).

2√3cosxsinx + 16sin^2x - 2√3 = 1 - cos(π/6).

2√3cosxsinx + 16sin^2x - 2√3 = 1 - √3/2.

2√3cosxsinx + 16sin^2x = 1 - √3/2 + 2√3.

4. Решим полученное уравнение численно или графически, чтобы найти значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению.

Совет: Для решения уравнений с тригонометрическими функциями полезно знать тригонометрические тождества и уметь преобразовывать их, чтобы упростить уравнение.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение 3sin^2x + cos2x - sinx = 2cos^2x - 1.

Тема вопроса: Решение уравнения с тригонометрическими функциями.

Пояснение: Для начала, преобразуем уравнение, чтобы упростить его и найти значения x, которые удовлетворяют ему. Возьмем каждый член уравнения по отдельности:

1) Распишем sin^2(7π/12 + x) как (1 - cos(2(7π/12 + x))) / 2, используя тригонометрическую формулу двойного угла sin^2θ = (1 - cos(2θ)) / 2.

2) Распишем cos2x как 2cos^2x - 1, используя формулу двойного угла cos2θ = 2cos^2θ - 1.

Подставляем эти значения обратно в уравнение и упрощаем его выражение:

8((1 - cos(2(7π/12 + x))) / 2) - 2√3(2cos^2x - 1) = 5.

Теперь решаем полученное уравнение. Упрощаем его и приводим подобные члены:

4cos(2(7π/12 + x)) - 2√3cos^2x + √3 = 5.

Распишем cos(2(7π/12 + x)) как cos(7π/6 + 2x), используя формулу суммы углов cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ:

4(cos(7π/6)cos(2x) - sin(7π/6)sin(2x)) - 2√3cos^2x + √3 = 5.

Упростим еще больше, заметив, что cos(7π/6) = -√3/2 и sin(7π/6) = 1/2:

4(-√3/2cos(2x) - 1/2sin(2x)) - 2√3cos^2x + √3 = 5.

Далее собираем все слагаемые синусов и косинусов отдельно:

-2√3cos(2x) - 2sin(2x) - 2√3cos^2x = 1.

3cos(2x) + sin(2x) + 3cos^2x = -1.

Для решения этого уравнения необходимо применить методы алгебры и тригонометрии, чтобы привести его к более простому виду и найти значения x.

Например: Решите уравнение 8sin^2(7π/12+x) - 2√3cos2x = 5.

Совет: Работа с тригонометрическими уравнениями может быть сложной. Для облегчения процесса, помните о тригонометрических тождествах и формулах двойного угла. Учитывайте также ограничения на углы (периодичность тригонометрических функций) и упрощайте уравнение, используя алгебраические методы.

Дополнительное задание: Решите уравнение 2sin^2x - √3cos2x + 1 = 0.