Какие значения x соответствуют точкам экстремума функции y=3x−6cosx на интервале [-π/2, π], и каков характер этих

Тема: Экстремумы функции y=3x−6cosx

Пояснение: Для определения значений x, соответствующих точкам экстремума функции y=3x−6cosx, и характера этих экстремумов, мы будем использовать производную функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y=3x−6cosx. Для этого применим правило дифференцирования суммы и постоянного множителя:
y' = (3x)' - (6cosx)' = 3 - (-6sinx) = 3 + 6sinx.

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3 + 6sinx = 0.
6sinx = -3.
sinx = -1/2.
x = arcsin(-1/2).

Шаг 3: Найдем значения x, соответствующие точкам экстремума функции y=3x−6cosx на интервале [-π/2, π]. Для этого вычислим arcsin(-1/2) в радианах. Поскольку нам дан интервал в градусах, мы преобразуем результат в градусы, используя соотношение pi радианов = 180 градусов:
x = arcsin(-1/2) ≈ -30°.

Шаг 4: Определим характер этих экстремумов. Для этого воспользуемся знаком производной в окрестности найденных значений x. Заметим, что y' = 3 + 6sinx всегда положительная на интервале [-π/2, π]. Это означает, что у нас есть один минимум в точке x ≈ -30°.

Совет: Для более глубокого понимания найденного решения, важно знать свойства тригонометрических функций и производных. Обратите внимание на то, что sinx = -1/2 соответствует углу -30°, который является особенным значением. Познакомьтесь с различными углами и их соответствующими значениями синуса.

Упражнение: Найдите значения x, соответствующие точкам экстремума и определите их характер для функции y = 2x + cos(x) на интервале [0, π].