Какие значения x и y удовлетворяют системе уравнений x^2 + y^2 = 65 и xy

Предмет вопроса: Решение системы уравнений с квадратами

Описание:

Для решения системы уравнений x^2 + y^2 = 65 и xy = 20, мы должны использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

1. Решим второе уравнение xy = 20 на x:
- Разделим оба выражения на y: x = 20 / y.

2. Подставим x в первое уравнение:
- (20 / y)^2 + y^2 = 65.
- Упростим этот квадратный трехчлен:
400 / y^2 + y^2 = 65.
- Умножим оба выражения на y^2, чтобы избавиться от знаменателя:
400 + y^4 = 65y^2.
- Перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:
y^4 - 65y^2 + 400 = 0.

3. Решим квадратное уравнение y^4 - 65y^2 + 400 = 0:
- Разложим это уравнение на множители: (y^2 - 40)(y^2 - 25) = 0.
- Для этого уравнения получаем два возможных значения:
a) y^2 - 40 = 0 или b) y^2 - 25 = 0.

4. Решим каждое уравнение по отдельности:
a) y^2 - 40 = 0:
- Получаем y = ±√40.
- Упростим√40 как √4 * √10.
- Получаем y = ±2√10.

b) y^2 - 25 = 0:
- Получаем y = ±√25.
- Упростим√25 как √5 * √5.
- Получаем y = ±5.

Пример:
Для системы уравнений x^2 + y^2 = 65 и xy = 20, y может быть равно ±2√10 и ±5, а для каждого значения y, найдётся соответствующее x, так как x = 20 / y.

Совет:
Когда решаете систему уравнений, вы можете использовать метод подстановки или метод исключения. Если квадратные уравнения возникают в процессе решения, попробуйте привести их к более простому виду, например, разложением на множители.

Задача для проверки:
Решите систему уравнений:
x^2 + y^2 = 26 и
x^2 - y^2 = 6.