Какие значения x и y доставляют экстремумы функции z=x^2+y^2-2*lnx-18*lny (x> 0,y>

Название: Экстремумы функции

Описание: Чтобы найти значения x и y, при которых функция достигает экстремумов, мы должны использовать методы математического анализа. Сначала возьмем частные производные по x и y и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы проверим, являются ли эти точки минимумами или максимумами с помощью вторых производных.

Давайте начнем с вычисления частной производной по x:

dz/dx = 2x - 2/x = 0

Умножим это уравнение на x, чтобы избавиться от знаменателя:

2x^2 - 2 = 0

Теперь найдем частную производную по y:

dz/dy = 2y - 18/y = 0

Умножим это уравнение на y:

2y^2 - 18 = 0

Решим эти уравнения:

2x^2 - 2 = 0
2x^2 = 2
x^2 = 1
x = ±1

2y^2 - 18 = 0
2y^2 = 18
y^2 = 9
y = ±3

Таким образом, критические точки функции это (1, 3), (-1, -3), (-1, 3) и (1, -3). Теперь нам нужно проверить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, используя вторые производные. Вторая производная по x равна:

d^2z/dx^2 = 2 + 2/x^2

Вторая производная по y равна:

d^2z/dy^2 = 2 - 18/y^2

Подставим значения x и y в эти уравнения и вычислим:

d^2z/dx^2 (1, 3) = 2 + 2/(1^2) = 4
d^2z/dx^2 (-1, -3) = 2 + 2/(-1^2) = 4
d^2z/dx^2 (-1, 3) = 2 + 2/(-1^2) = 4
d^2z/dx^2 (1, -3) = 2 + 2/(1^2) = 4

d^2z/dy^2 (1, 3) = 2 - 18/(3^2) = -2
d^2z/dy^2 (-1, -3) = 2 - 18/(-3^2) = -2
d^2z/dy^2 (-1, 3) = 2 - 18/(3^2) = -2
d^2z/dy^2 (1, -3) = 2 - 18/(-3^2) = -2

Из этих значений можно заключить, что все критические точки являются экстремумами, и все они являются минимумами. Таким образом, значения x и y, при которых функция достигает экстремумов, это (1, 3), (-1, -3), (-1, 3) и (1, -3).

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, полезно знать методы нахождения критических точек и проверки их на экстремумы. Ознакомьтесь с материалом о производных функций и их свойствах, а также о критериих экстремума для функций нескольких переменных.

Задание: Найдите значения x и y, при которых функция z = x^2 + y^2 - 3x - 4y достигает экстремумов.