Какие значения [tex]x[/tex] удовлетворяют уравнению: [tex]log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2[/tex]?

Тема: Решение уравнений с логарифмами

Объяснение: Для решения данного уравнения, вам потребуется использовать свойства логарифмов. Помните, что логарифм определен только для положительных чисел, поэтому в уравнении [tex]sinx[/tex] должно быть положительным, то есть [tex]0 < sinx < 1[/tex]. Рассмотрим поэтапное решение:

1. Применим базовое свойство логарифма: [tex]log_a(b)=c[/tex] равносильно [tex]a^c=b[/tex]. Поэтому в данном уравнении мы можем записать:
[tex]sin^2(x)(cos2x-sinx+1) = cos2x - sinx + 1[/tex].

2. Распишем [tex]cos2x[/tex] как [tex]1-2sin^2x[/tex]:
[tex]sin^2(x)(1-2sin^2x-sinx+1)=cos2x-sinx+1[/tex].
Умножаем каждый член скобки на [tex]sin^2(x)[/tex] и получаем:
[tex]-2sin^4x + sin^3x + sin^2x - sinx + 1 = cos2x - sinx + 1[/tex].

3. Сократим одинаковые слагаемые на обеих сторонах уравнения:
[tex]-2sin^4x + sin^3x + sin^2x = 0[/tex].

4. Факторизуем уравнение, выделяя общий множитель [tex]sinx[/tex]:
[tex]sinx(-2sin^3x + sin^2x + 1) = 0[/tex].

5. Получаем два возможных варианта решения:
[tex]sinx = 0[/tex] или [tex]-2sin^3x + sin^2x + 1 = 0[/tex].

6. Решим оба уравнения по очереди:

- [tex]sinx = 0[/tex]:
Решением будет любой угол, у которого [tex]sinx = 0[/tex]. Такие углы можно найти, например, равными [tex]0^\circ[/tex] и [tex]180^\circ[/tex].

- [tex]-2sin^3x + sin^2x + 1 = 0[/tex]:
В данном случае, чтобы получить точные значения углов [tex]x[/tex], мы можем воспользоваться графиком функции или численными методами.

Совет: Чтобы лучше разобраться с решением уравнений, вам может быть полезно повторить свойства логарифмов и знакомство с тригонометрическими функциями.

Упражнение: Решите уравнение [tex]log_5(x^2-2x+1) = 3[/tex].