Какие значения имеет выражение: 1-sin69°*cos39°+cos69°*sin39°?

Тема урока: Выражение с тригонометрическими функциями

Описание: Дано выражение 1-sin69°*cos39°+cos69°*sin39°. Чтобы найти его значение, мы должны разложить каждое слагаемое на произведение функций sin и cos, а затем применить соответствующие тригонометрические идентичности.

Сначала рассмотрим слагаемое sin69°*cos39°. Здесь мы можем использовать формулу произведения синуса и косинуса: sin(A) * cos(B) = (1/2) * [sin(A + B) + sin(A - B)]. Применим эту формулу:

sin69° * cos39° = (1/2) * [sin(69° + 39°) + sin(69° - 39°)].

Теперь мы можем вычислить значения внутри синусов:

sin(69° + 39°) = sin(108°) = √3/2,
sin(69° - 39°) = sin(30°) = 1/2.

Подставляем эти значения обратно в наше выражение:

sin69° * cos39° = (1/2) * [√3/2 + 1/2].

Аналогичным образом рассмотрим слагаемое cos69° * sin39°, используя ту же тригонометрическую формулу:

cos69° * sin39° = (1/2) * [sin(69° + 39°) - sin(69° - 39°)].

Подставим значения синусов и вычислим:

cos69° * sin39° = (1/2) * [√3/2 - 1/2].

Теперь подставим новые значения обратно в исходное выражение:

1 - sin69° * cos39° + cos69° * sin39° = 1 - (1/2) * [√3/2 + 1/2] + (1/2) * [√3/2 - 1/2].

Теперь мы можем приступить к вычислениям:

1 - (1/2) * [√3/2 + 1/2] + (1/2) * [√3/2 - 1/2] = 1 - (1/2) * (√3/2 + 1/2) + (1/2) * (√3/2 - 1/2).

Далее можно согласить и упростить:

= 1 - (1/2)(√3/2) - (1/2)(1/2) + (1/2)(√3/2) - (1/2)(1/2)
= 1 - 1/4
= 3/4.

Таким образом, значение заданного выражения равно 3/4.

Совет: Для более легкого понимания таких задач, полезно освоить тригонометрические формулы и идентичности. Использование тригонометрических таблиц или калькуляторов также может быть полезным для быстрого получения значений синусов и косинусов.

Проверочное упражнение: Найдите значение выражения: sin75° * cos15° + cos75° * sin15°.