Какие значения функции являются наибольшими и наименьшими, если функция задана уравнением y = корень из 81 - x^2

Суть вопроса: Максимумы и минимумы функций

Пояснение: Для нахождения максимумов и минимумов функции без использования производной, мы должны применить основные принципы анализа функции и ее графика.

Данная функция y = корень из (81 - x^2) представляет собой график полуокружности с радиусом 9 и центром в точке (0, 9). Так как корень не может быть отрицательным, область определения функции ограничена значениями -9 ≤ x ≤ 9.

1. Находим критические точки функции: чтобы найти точки, в которых функция может достигнуть экстремумов, приравниваем ее производную к нулю: y" = 0.

В данном случае, функция не имеет производной, поэтому прямое решение этим способом невозможно.

2. Исследуем поведение функции в концевых точках области определения: x = -9 и x = 9.

Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем:
y1 = корень из (81 - (-9)^2) = корень из (81 - 81) = 0
y2 = корень из (81 - 9^2) = корень из (81 - 81) = 0

Таким образом, минимальное значение функции равно нулю и достигается в точках (-9, 0) и (9, 0).

3. Найденные точки (-9, 0) и (9, 0) являются минимумами функции, так как график функции находится выше этих точек на всей области определения, и не существуют другие точки, в которых функция достигает меньших значений.

Поскольку функция не имеет максимума, максимального значения функции не существует.

Совет: Чтобы лучше понять поведение функции и найти ее максимумы и минимумы, нарисуйте график функции на координатной плоскости. Это позволит визуально найти экстремальные точки и лучше понять, как значения изменяются относительно x.

Упражнение: Найдите значения функции y = корень из (64 - x^2) без использования производной.