Какие уравнения касательных к эллипсу x^2/10 + 2y^2/5 = 1 можно составить, чтобы они были параллельны прямой 3x

Тема урока: Уравнения касательных к эллипсу

Описание: Чтобы найти уравнение касательной к эллипсу, заданному уравнением x^2/10 + 2y^2/5 = 1, и параллельной прямой 3x + 2y, нужно использовать метод дифференцирования. Первым шагом необходимо взять частные производные по x и y от уравнения эллипса. Для этого умножаем обе части уравнения эллипса на соответствующую константу, 10 и 5, чтобы исключить дроби.

Получаем x^2 + 2y^2/5 = 10. Теперь дифференцируем обе части этого уравнения по x и y:

d(x^2 + 2y^2/5)/dx = d(10)/dx
2x + 4y(dy/dx) = 0

d(x^2 + 2y^2/5)/dy = d(10)/dy
(4x/5)(dy/dx) + (4y/5)(2) = 0
(4x/5)(dy/dx) + 8y/5 = 0

Теперь мы имеем систему из двух уравнений, полученных путем дифференцирования исходного уравнения эллипса. Решим эту систему уравнений, подставив второе уравнение системы в первое для нахождения dy/dx:

2x + 4y(dy/dx) = 0
2x - (4x/5)(dy/dx) = 8y/5
(20x - 4x)(dy/dx) = 8y/5
16x(dy/dx) = 8y/5
dy/dx = y/(2x/5)

Теперь мы получили значение dy/dx, которое позволяет нам построить уравнение касательной. Используя уравнение прямой 3x + 2y, ищем параллельную прямую с таким же наклоном, равным dy/dx:

dy/dx = y/(2x/5) = 2/3
y = (2x/5)(2/3)
y = 4x/15

Таким образом, уравнение касательной к эллипсу, параллельной прямой 3x + 2y, заданной уравнением x^2/10 + 2y^2/5 = 1, является y = 4x/15.

Совет: Для лучшего понимания дифференцирования и построения касательной линии рекомендуется изучить основные принципы дифференциального исчисления и графики функций. Также полезным будет прорешать несколько задач на поиск касательных кривых различных геометрических фигур.

Задание для закрепления: Найдите уравнение касательной к эллипсу (x^2)/9 + (y^2)/4 = 1, параллельной прямой 4x + 3y - 2.