Какие множители можно разложить для 6x^7+x^5-4x^2?

Факторизация полинома

Инструкция: Чтобы разложить множители полинома 6x^7 + x^5 - 4x^2, мы должны искать общие множители между каждым членом полинома и затем факторизовать их.

Для начала, посмотрим на общие множители численных коэффициентов 6, 1 и -4. Единственным общим множителем является число 1.

Теперь давайте посмотрим на общую переменную x в каждом члене. Максимальная степень x в данном полиноме - 7.

Посмотрим на первый член полинома, 6x^7. Мы можем выделить общий множитель x^2 (так как 2 < 7). Получается, 6x^7 можно записать как x^2 * 6x^5.

Теперь рассмотрим второй член полинома, x^5. Мы уже выделили общий множитель x^2, поэтому остается только 1x^3.

С третьим членом полинома, -4x^2, мы также можем выделить общий множитель x^2.

Итак, разложение полинома 6x^7 + x^5 - 4x^2 выглядит следующим образом: x^2(6x^5 + x^3 - 4).

Например: Факторизуйте полином 3x^4 + 2x^2 - x.

Совет: Для успешной факторизации полиномов, полезно искать общие множители между каждым членом полинома и общую переменную.

Практика: Разложите множители полинома 4x^3 + 8x^2 - 12x.

Разложение на множители:

Задача заключается в разложении многочлена 6x^7 + x^5 - 4x^2 на множители. Для начала, давайте рассмотрим, есть ли общий множитель у всех членов данного многочлена. В данном случае, мы можем вынести общий множитель x^2:

6x^7 + x^5 - 4x^2 = x^2(6x^5 + x^3 - 4)

Теперь, разложим многочлен (6x^5 + x^3 - 4) на множители. В данном случае, мы не можем просто вынести общий множитель, поэтому мы должны воспользоваться другими методами факторизации.

Для простоты давайте обозначим (6x^5 + x^3 - 4) как P(x). Мы можем попробовать разложить P(x) на множители путем поиска его рациональных корней. Если ноль а является корнем P(x), то (x-a) будет являться множителем P(x).

Есть несколько способов найти рациональные корни многочлена P(x), такие как использование метода подстановки или метода рациональных корней. Предлагаю использовать метод подстановки путем попытки различных значения x и проверки, являются ли они корнями P(x).

После применения метода подстановки, мы получим корень x = -1. Подставим это значение в P(x):

P(-1) = (6(-1)^5 + (-1)^3 - 4) = (6 - 1 - 4) = 1

Таким образом, у нас есть корень x = -1, и P(x) делится на (x + 1). Мы можем разделить P(x) на (x + 1), используя синтетическое деление:

-1 │ 6 0 1 -4
│ -6 6 -7
└─────────
6 -6 -6 -11

Результат синтетического деления дает нам 6x^2 - 6x - 6 с остатком -11. Таким образом, мы можем записать:

P(x) = (x + 1)(6x^2 - 6x - 6) - 11

Теперь, если мы хотим, мы можем разложить оставшееся квадратное выражение (6x^2 - 6x - 6) на множители, используя методы факторизации квадратных многочленов. Let me know if you would like to proceed with that.

*Пример использования:* Разложите многочлен 6x^7+x^5-4x^2 на множители.

*Совет:* Использование метода подстановки и синтетического деления может быть полезным при разложении многочленов на множители. Запишите многочлен в общем виде и попробуйте различные значения x, чтобы найти рациональные корни.

*Упражнение:* Разложите многочлен 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 6x + 4 на множители.