Какие интервалы выпуклости и вогнутости имеет функция: f(x) = 2x^4 - 12x^2?

Содержание вопроса: Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Описание: Чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости функции, мы должны найти вторую производную функции f(x) и проанализировать ее знаки. Если вторая производная положительна, то функция выпукла в данном интервале, а если она отрицательна, то функция вогнута.

Для функции f(x) = 2x^4 - 12x^2, найдем первую производную:

f"(x) = 8x^3 - 24x.

Теперь найдем вторую производную:

f""(x) = (f"(x))" = (8x^3 - 24x)" = 24x^2 - 24.

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, приравняем вторую производную к нулю и найдем критические значения:

24x^2 - 24 = 0.

Решаем это уравнение:

24x^2 = 24.

x^2 = 1.

x = ±1.

Теперь анализируем знаки вокруг критических значений. Для x < -1 и x > 1 вторая производная положительна, поэтому функция f(x) выпукла. Для -1 < x < 1 вторая производная отрицательна, значит, функция f(x) вогнута.

Таким образом, интервалы выпуклости для функции f(x) = 2x^4 - 12x^2: от (-∞, -1) и (1, +∞), а интервалы вогнутости: (-1, 1).

Доп. материал: Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функции g(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2x.

Совет: Для понимания этой темы рекомендуется изучить производные функций и их связь с выпуклостью и вогнутостью.

Закрепляющее упражнение: Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функции h(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 2.