Какая будет третья координата орта вектора, в направлении которого функция u =3^(x-y^2-z) убывает наиболее быстро

Тема: Орт вектора и его направление

Объяснение: Чтобы найти третью координату орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x-y^2-z) убывает наиболее быстро, необходимо взять градиент этой функции и нормализовать его. Градиент функции - это вектор, который указывает направление наибольшего изменения функции в заданной точке.

Для начала, найдем градиент функции. Градиент u(x, y, z) обозначается как ∇u (читается: "набла u") и вычисляется следующим образом:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

Где ∂u/∂x, ∂u/∂y и ∂u/∂z - частные производные функции u(x, y, z) по x, y и z соответственно.

Продифференцируем функцию u(x, y, z) по каждой координате:

∂u/∂x = 3^(x-y^2-z) * ln(3)
∂u/∂y = -2y * 3^(x-y^2-z) * ln(3)
∂u/∂z = -3^(x-y^2-z) * ln(3)

Теперь найдем значение градиента ∇u в точке m(1, 1, -1):

∇u(m) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (3^(1-1^2-(-1)) * ln(3), -2*1*3^(1-1^2-(-1)) * ln(3), -3^(1-1^2-(-1)) * ln(3))

Для нормализации градиента ∇u найдем длину вектора и разделим каждую компоненту на эту длину:

L = sqrt((∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2)

Ортовый вектор в направлении наиболее быстрого убывания функции будет иметь координаты:

(∂u/∂x / L, ∂u/∂y / L, ∂u/∂z / L)

Пример использования: Запишите координаты ортового вектора в направлении, в котором функция u=3^(x-y^2-z) убывает наиболее быстро в точке m(1; 1; -1).

Совет: Чтобы более лучше понять процесс решения данной задачи, рекомендуется иметь представление о понятии градиента функции и его геометрическом значении.

Упражнение: Найдите ортовый вектор в направлении, в котором функция u = x^2 + 2xy + 3y^2 убывает наиболее быстро в точке (2, -1).