Как разложить вектор а по осям i,j,k? Как найти длину, направляющие косинусы и орт вектора?

Разложение вектора и направляющие косинусы:

Вектор а может быть разложен по осям i, j и k с использованием координат. Координатная система, в которой разложен вектор, называется прямоугольной системой координат. Рассмотрим вектор а с координатами (x, y, z).

Разложение вектора а по осям выглядит следующим образом:
а = xa * i + ya * j + za * k

где:
- xa, ya и za - координаты вектора а;
- i, j и k - орты осей.

Длина вектора и орт:

Длина вектора а определяется с использованием его координат:
|a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Для получения орта вектора а необходимо разделить его на его длину:
a^ = a / |a|

Направляющие косинусы:

Направляющие косинусы представляют собой отношение координат вектора а к его длине:
cos α = x / |a|
cos β = y / |a|
cos γ = z / |a|

Доп. материал:

Предположим, что у нас есть вектор а с координатами (3, 4, 5).

Разложение вектора а по осям будет выглядеть следующим образом:
а = 3i + 4j + 5k

Длина вектора:
|а| = sqrt(3^2 + 4^2 + 5^2) = sqrt(9 + 16 + 25) = sqrt(50)

Орт вектора:
а^ = (3i + 4j + 5k) / sqrt(50) = (3/√50)i + (4/√50)j + (5/√50)k

Направляющие косинусы:
cos α = 3 / √50
cos β = 4 / √50
cos γ = 5 / √50

Совет:

Для лучшего понимания концепции разложения векторов и нахождения их длины, направляющих косинусов и ортов, рекомендуется практиковаться на различных примерах. Вы также можете использовать графические представления векторов в трехмерном пространстве, чтобы визуализировать эти концепции.

Задача на проверку:

Дан вектор а с координатами (2, 3, 6). Найдите его длину, направляющие косинусы и орт.