Как найти угол между векторами a и b, где a=3p+2q и b=p+5q, а векторы p и q являются взаимно перпендикулярными и имеют

Название: Угол между векторами

Описание: Чтобы найти угол между векторами a и b, нужно воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами. Для данной задачи имеем:
a=3p+2q,
b=p+5q,
где p и q – взаимно перпендикулярные единичные векторы.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними:
a · b = |a| * |b| * cos(θ),
где θ – искомый угол между векторами.

Длины векторов p и q равны 1, так как они имеют единичную длину.

Теперь выразим длины векторов a и b через p и q:
|a| = √((3^2 + 2^2) * (1^2 + 1^2)) = √(13),
|b| = √((1^2 + 5^2) * (1^2 + 1^2)) = √(26).

Подставим найденные значения в формулу для скалярного произведения:
a · b = √(13) * √(26) * cos(θ).

Теперь найдем косинус угла θ, разделив обе части уравнения на √(13) * √(26):
cos(θ) = (a · b) / (√(13) * √(26)).

Наконец, найдем сам угол θ, взяв арккосинус от полученного значения:
θ = arccos((a · b) / (√(13) * √(26))).

Дополнительный материал:
Дано:
a = 3p + 2q,
b = p + 5q,
p и q – взаимно перпендикулярные единичные векторы.

Найти угол между векторами a и b.

Решение:
|a| = √(13),
|b| = √(26).

Тогда:
cos(θ) = (a · b) / (√(13) * √(26)).

Подставляя значения, получаем:
cos(θ) = ((3p + 2q) · (p + 5q)) / (√(13) * √(26)).

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
cos(θ) = (3p · p + 15q · p + 2p · q + 10q · q) / (√(13) * √(26)).

Известно, что p и q – взаимно перпендикулярные единичные векторы, т.е. их скалярное произведение равно нулю:
cos(θ) = (3 * 1 + 15 * 0 + 2 * 0 + 10 * 1) / (√(13) * √(26)) = 13 / (√(13) * √(26)) = 1 / √(2).