Как найти косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если вектор m является перпендикулярным вектору p и длина

Тема урока: Косинус угла между векторами

Инструкция:
Для нахождения косинуса угла между векторами a и b воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

где θ - угол между векторами a и b, a · b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов a и b, соответственно.

Для начала найдем скалярное произведение a · b:

a · b = (4m - p) · (m + 2p)

Раскрывая скобки и учитывая, что вектор m является перпендикулярным вектору p, получаем:

a · b = 4m · m + 8m · p - p · p

Поскольку |m| = |p| = 1, то m · m = p · p = 1. Также учитываем, что m и p перпендикулярны, поэтому m · p = 0:

a · b = 4 * 1 + 8 * 0 - 1 = 4 - 1 = 3

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √((4m - p) · (4m - p))
= √(16m · m - 8m · p + p · p)
= √(16 * 1 - 8 * 0 + 1)
= √(16 + 1)
= √17

|b| = √((m + 2p) · (m + 2p))
= √(m · m + 4m · p + 4p · p)
= √(1 + 4 * 0 + 4 * 1)
= √(1 + 4)
= √5

Теперь, подставляя найденные значения в формулу для косинуса угла, получим:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)
= 3 / (√17 * √5)
= 3 / √(17 * 5)
= 3 / √85

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен 3 / √85.

Пример:
Заданы векторы a = 4m - p и b = m + 2p, где вектор m является перпендикулярным вектору p, длина вектора m равна длине вектора p, равной 1. Найдите косинус угла между векторами a и b.

Совет:
Для нахождения косинуса угла между векторами важно уметь вычислять скалярное произведение векторов и длины векторов. Также следует хорошо понимать понятие перпендикулярности векторов.

Задание:
Найдите скалярное произведение векторов a = 2i - j + k и b = -3i + 2j - k.