Как начать решать и составить уравнение касательной к графику функции у= 2х+3/x^2-1 в точке с абсциссой х=2?

Тема: Уравнение касательной к графику функции

Пояснение:
Для начала, нам понадобится найти производную функции y = 2x + 3/(x^2 - 1). Производная позволит нам найти угловой коэффициент касательной в заданной точке (х=2). Для нахождения производной функции, нужно применить правила дифференцирования. Производная функции будет иметь вид:

y" = 2 - (6x)/((x^2 - 1)²)

Затем мы можем подставить значение х=2 в нашу производную, чтобы найти значение углового коэффициента касательной в этой точке. Подставляя значения, получаем:

y"(2) = 2 - (6(2))/((2^2 - 1)²)
= 2 - 12/(3)²
= 2 - 12/9
= 2 - 4/3
= 6/3 - 4/3
= 2/3

Теперь, у нас есть значение углового коэффициента, которое равно 2/3 в точке х=2. Чтобы составить уравнение касательной, мы можем использовать уравнение прямой вида y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - значение функции в заданной точке.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции у= 2х + 3/(х²-1) в точке х=2 будет иметь вид:

y = (2/3)x + b

Теперь, нам нужно найти значение b. Для этого, мы можем использовать исходную функцию и подставить значение х=2:

y = 2(2) + 3/((2)^2 - 1)
= 4 + 3/(4 - 1)
= 4 + 3/3
= 4 + 1
= 5

Таким образом, значение b равно 5. Подставляя значения в уравнение касательной, получаем:

y = (2/3)x + 5

Совет:
Для понимания темы уравнений касательных к графикам функций, рекомендуется изучить основные понятия дифференцирования, производные и уравнения прямых. Также полезно научиться применять эти концепции при решении задач. Практика составления уравнений касательных к разным функциям поможет улучшить понимание этой темы.

Практика:
Составьте уравнение касательной к графику функции y = 3x^2 - 2x + 1 в точке х=4.