Как можно разрешить указанное логарифмическое неравенство: logарифм по основанию 9 от квадрата (x-7) * логарифм

Тема урока: Решение логарифмического неравенства

Разъяснение: Для разрешения данного логарифмического неравенства, нам необходимо учесть некоторые свойства логарифмов и использовать алгоритм действий. Давайте начнем:

1. Применим свойство логарифма, которое гласит, что логарифм от произведения двух чисел равен сумме логарифмов от каждого из них. Также, логарифм от частного двух чисел равен разности логарифмов от этих чисел.

В нашем случае, мы можем разделить логарифмическое выражение на две части:
log9((x-7)^2) + log81((x-3)^4)
------------------------------------------------- = ———————————————————————————
log3((x-3)^3) (x-7)

2. Применим свойство логарифма, которое гласит, что логарифм от числа в некоторой степени равен произведению этой степени на логарифм от числа.

Мы можем заменить логарифмы с различными основаниями на логарифм с общим основанием 10 и использовать следующее свойство:

loga(x) = (logb(x))/(logb(a))

Применив это свойство, получаем:

2log9(x-7) + 4log81(x-3)
------------------------------- = ——————————————————————————————
3log3(x-3) (x-7)

3. Теперь мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что логарифм от числа в некоторой степени равен произведению этой степени на логарифм от числа.

Для удобства дальнейших вычислений, обозначим:

a = log9(x-7)
b = log81(x-3)
c = log3(x-3)

Тогда выражение станет:

2a + 4b
-------------- = ——————————
3c (x-7)

4. Мы можем упростить выражение, раскрыв логарифмы с помощью свойств логарифмов:

При использовании свойств логарифмов, получаем следующее:

2a + 4b
-------------- = 3c
3c (x-7)

5. Наша задача - разрешить это уравнение относительно x. Для этого мы можем перейти к неравенству в равенстве и рассмотреть каждое слагаемое отдельно.

a) 2a = 3c(x-7)
b) 4b = 3c(x-7)

Решим каждое уравнение:

a) 2a = 3c(x-7)
2log9(x-7) = 3log3(x-3)(x-7)

Раскроем логарифмы:

log^2_9(x-7) = log^2_3(x-3)(x-7)

Упростим:

(x-7)^2 = (x-3)^2(x-7)

b) 4b = 3c(x-7)
4log81(x-3) = 3log3(x-3)(x-7)

Раскроем логарифмы:

(log9(x-3))^4 = (log3(x-3)(x-7))^3

Упростим:

(x-3)^4 = (x-3)^3(x-7)^3

6. Теперь у нас есть два уравнения. Решим их и изучим полученные решения.

7. Для проверки, подставим каждое полученное решение в исходное неравенство и убедимся, что они удовлетворяют его условию.

Пример: Разрешите логарифмическое неравенство: log9((x-7)^2) + log81((x-3)^4)/(x-7)

Совет: Чтобы эффективно разрешать логарифмические неравенства, важно хорошо знать свойства логарифмов и оказаться знакомым с различными методами решения. Помните об основных свойствах и правилах, и обязательно проверяйте полученные решения.

Проверочное упражнение: Решите логарифмическое неравенство: log8((x-5)^3)/(x-5)