Как можно изобразить график функции y=-x^2+8x-7 и определить интервалы ее монотонности?

Тема вопроса: График функции y=-x^2+8x-7 и его монотонность

Разъяснение: Для начала нам нужно изобразить график функции y=-x^2+8x-7. Это функция квадратичной формы. У нее есть название "парабола".

1. Давайте построим график, используя таблицу значений для x и соответствующих значений y.

| x | y |
|-------|--------|
| 0 | -7 |
| 1 | 0 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
| 4 | -3 |
| 5 | -12 |

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и проведем гладкую кривую через них. Получится парабола, у которой ветви расположены вниз.

2. Теперь определим интервалы монотонности функции. Интервал монотонности - это промежуток значений x, в котором функция либо возрастает, либо убывает.

Для определения интервалов монотонности рассмотрим первую производную функции. Если производная положительна на каком-то промежутке, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Возьмем производную функции y=-x^2+8x-7:
y" = -2x + 8

Уравнение -2x + 8 = 0 решим:

-2x = -8
x = 4

Итак, мы нашли точку перегиба графика функции.

Теперь рассмотрим интервалы:
- Для x < 4, производная больше 0, следовательно функция возрастает.
- Для x > 4 , производная меньше 0, следовательно функция убывает.

Таким образом, интервалы монотонности функции y=-x^2+8x-7 это:
- (от -∞ до 4) (возрастание)
- (от 4 до +∞) (убывание)

Демонстрация: Нарисовать график функции y=2x^2+3x-2 и определить интервалы монотонности.

Совет: Для лучшего понимания монотонности функции можно нарисовать график и анализировать его наклон на разных участках.

Дополнительное упражнение: Изобразите график функции y=x^3+2x^2-3x и определите интервалы монотонности.