Исследуйте функцию на монотонность и нахождение экстремумов: а) f(x)=(x+1)^2(x-2) б) f(x)=32lnx-x^2

Название: Исследование функции на монотонность и нахождение экстремумов

Описание:
Для исследования функции на монотонность и нахождение экстремумов, нам нужно проанализировать производную функции. Монотонность функции определяется знаком производной: если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале, если отрицательна - функция убывает. Экстремумы функции находятся там, где производная меняет знак.

а) Рассмотрим функцию f(x) = (x + 1)^2(x - 2):

1. Найдем производную функции f"(x):
f"(x) = 2(x + 1)(x - 2) + (x + 1)^2 = 2(x + 1)(x - 2) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2x - 4 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2

2. Определение монотонности:
Так как производная f"(x) = 3x^2 всегда положительна на всей числовой прямой, то функция f(x) возрастает на всей области определения.

3. Определение экстремумов:
Так как производная f"(x) = 3x^2 не меняет знак, то у функции f(x) нет экстремумов.

б) Рассмотрим функцию f(x) = 32ln(x) - x^2:

1. Найдем производную функции f"(x):
f"(x) = (32/x) - 2x

2. Определение монотонности:
Решим неравенство f"(x) > 0:
(32/x) - 2x > 0
32 - 2x^2 > 0
16 - x^2 > 0
(x + 4)(x - 4) > 0
Отсюда получаем, что функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (-∞, -4) и (4, +∞), и монотонно убывает на интервале (-4, 4).

3. Определение экстремумов:
Из условия монотонности видно, что у функции f(x) нет экстремумов.

Доп. материал:
a) Пусть x = 3, найдем значение функции f(x):
f(3) = (3 + 1)^2(3 - 2) = 16

b) Пусть x = 2, найдем значение функции f(x):
f(2) = 32ln(2) - 2^2 = 32ln(2) - 4

Совет:
Чтобы лучше понять исследование функций на монотонность и нахождение экстремумов, рекомендую выучить определения и понятия производной функции, монотонности и экстремумов. Также полезным будет изучение графика функций и их поведения на различных интервалах.

Дополнительное задание:
Исследуйте функцию f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 на монотонность и найдите ее экстремумы.

Исследование функции на монотонность и нахождение экстремумов

a) f(x)=(x+1)^2(x-2)

Пояснение:
Для исследования функции на монотонность и нахождение экстремумов, нам необходимо проанализировать ее производную. Если производная положительна на определенном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

Шаги решения:
1. Найдите производную функции f(x)= (x+1)^2(x-2) методом дифференцирования. Производная функции равна f"(x) = 3x^2 - 2x - 4.
2. Найдите корни производной функции f"(x) = 3x^2 - 2x - 4, приравняв ее к нулю и решив полученное уравнение. Получились корни: x = -1,33 и x = 1,33.
3. Постройте таблицу знаков производной f"(x) = 3x^2 - 2x - 4. Разбейте числомерную прямую на три интервала, используя корни функции:
a) При x < -1,33, производная f"(x) < 0, функция f(x) убывает.
b) При -1,33 < x < 1,33, производная f"(x) > 0, функция f(x) возрастает.
c) При x > 1,33, производная f"(x) < 0, функция f(x) убывает.
4. Найдите точки экстремума функции, равные x = -1,33 и x = 1,33.
a) При x = -1,33 функция имеет локальный минимум, так как меняет направление от убывания к возрастанию.
b) При x = 1,33 функция имеет локальный максимум, так как меняет направление от возрастания к убыванию.

Пример:
Зададим функцию f(x) = (x+1)^2(x-2). Найдите монотонность и точки экстремумов.

Совет:
Для понимания исследования функции на монотонность и нахождение экстремумов, рекомендуется обращаться к ряду уроков по математическому анализу. Изучите разные методы дифференцирования и изучите алгоритм исследования функции.

Задача на проверку:
Исследуйте функцию на монотонность и нахождение экстремумов: c) f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x.